Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 0;1;1 \right)$, $B\left( 3;0;-1 \right)$, $C\left( 0;21;-19 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$. Gọi điểm $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho biểu thức $T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $S=a+b+c$.
A. $S=12$.
B. $S=\dfrac{14}{5}$.
C. $S=\dfrac{12}{5}$.
D. $S=0$.
A. $S=12$.
B. $S=\dfrac{14}{5}$.
C. $S=\dfrac{12}{5}$.
D. $S=0$.
Gọi điểm $K\left( x;y;z \right)$ sao cho $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{KA}=\left( -x;1-y;1-z \right) \\
& \overrightarrow{KB}=\left( 3-x;-y;-1-z \right) \\
& \overrightarrow{KC}=\left( -x;21-y;-19-z \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3x+2\left( 3-x \right)-x=0 \\
& 3\left( 1-y \right)-2y+21-y=0 \\
& 3\left( 1-z \right)-2\left( 1+z \right)-19-z=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=4 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( 1;4;-3 \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& 3M{{A}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} \right)}^{2}}=3M{{K}^{2}}+6\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}+3K{{A}^{2}} \\
& 2M{{B}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB} \right)}^{2}}=2M{{K}^{2}}+4\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KB}+2K{{B}^{2}} \\
& M{{C}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC} \right)}^{2}}=M{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KC}+2K{{C}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ $=5M{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MK}\left( 3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC} \right)+\left( 3K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+K{{C}^{2}} \right)$
$=5M{{K}^{2}}+\underbrace{\left( 3K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+K{{C}^{2}} \right)}_{const}$. Do đó ${{T}_{\min }}$ khi và chỉ khi $M{{K}_{\min }}$.
Suy ra $M=IK\cap \left( S \right)$ và đồng thời $M$ nằm giữa $I$ và $K$.
Ta có $\overrightarrow{IK}=\left( 0;3;-4 \right)\Rightarrow IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1+3t \\
& z=1-4t \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra toạ độ điểm $ M$ thoả mãn:
${{\left( 3t \right)}^{2}}+{{\left( 4t \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{5}$. Vì $M$ nằm giữa $I$ và $K$ nên $t=\dfrac{1}{5}$ và $M\left( 1;\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5} \right)$.
Vậy $S=a+b+c=1+\dfrac{8}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{14}{5}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{KA}=\left( -x;1-y;1-z \right) \\
& \overrightarrow{KB}=\left( 3-x;-y;-1-z \right) \\
& \overrightarrow{KC}=\left( -x;21-y;-19-z \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3x+2\left( 3-x \right)-x=0 \\
& 3\left( 1-y \right)-2y+21-y=0 \\
& 3\left( 1-z \right)-2\left( 1+z \right)-19-z=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=4 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( 1;4;-3 \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& 3M{{A}^{2}}=3{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA} \right)}^{2}}=3M{{K}^{2}}+6\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KA}+3K{{A}^{2}} \\
& 2M{{B}^{2}}=2{{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB} \right)}^{2}}=2M{{K}^{2}}+4\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KB}+2K{{B}^{2}} \\
& M{{C}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC} \right)}^{2}}=M{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{KC}+2K{{C}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ $=5M{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MK}\left( 3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC} \right)+\left( 3K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+K{{C}^{2}} \right)$
$=5M{{K}^{2}}+\underbrace{\left( 3K{{A}^{2}}+2K{{B}^{2}}+K{{C}^{2}} \right)}_{const}$. Do đó ${{T}_{\min }}$ khi và chỉ khi $M{{K}_{\min }}$.
Suy ra $M=IK\cap \left( S \right)$ và đồng thời $M$ nằm giữa $I$ và $K$.
Ta có $\overrightarrow{IK}=\left( 0;3;-4 \right)\Rightarrow IK:\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1+3t \\
& z=1-4t \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra toạ độ điểm $ M$ thoả mãn:
${{\left( 3t \right)}^{2}}+{{\left( 4t \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{5}$. Vì $M$ nằm giữa $I$ và $K$ nên $t=\dfrac{1}{5}$ và $M\left( 1;\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5} \right)$.
Vậy $S=a+b+c=1+\dfrac{8}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{14}{5}$.
Đáp án B.