Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ) sao cho $OA=a, OB=b,OC=c$. Giả sử M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC và có khoảng cách từ M đến các mặt $\left( OBC \right),\left( OCA \right),\left( OAB \right)$ lần lượt là 1, 2, 3. Khi thể tích của khối chóp $O.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất, tổng $S=a+b+c$ bằng
A. 18
B. 9
C. 6
D. 24
Từ đề bài ta có:
${{d}_{\left( M,\left( OBC \right) \right)}}=MK=1; {{d}_{\left( M;\left( OCA \right) \right)}}=ME=2;{{d}_{\left( M,\left( OAB \right) \right)}}=MH=3$
Suy ra tọa độ điểm $M\left( 1;2;3 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Mà $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1\left( 1 \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}=3\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}=3\sqrt[3]{\dfrac{6}{6V}}$ (vì $V=\dfrac{1}{6}abc$ ) $\Rightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{1}{V}\Leftrightarrow V\ge 27\Rightarrow \min V=54$ khi $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ S=a+b+c=18$
A. 18
B. 9
C. 6
D. 24
Từ đề bài ta có:
${{d}_{\left( M,\left( OBC \right) \right)}}=MK=1; {{d}_{\left( M;\left( OCA \right) \right)}}=ME=2;{{d}_{\left( M,\left( OAB \right) \right)}}=MH=3$
Suy ra tọa độ điểm $M\left( 1;2;3 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Mà $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1\left( 1 \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}=3\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}=3\sqrt[3]{\dfrac{6}{6V}}$ (vì $V=\dfrac{1}{6}abc$ ) $\Rightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{1}{V}\Leftrightarrow V\ge 27\Rightarrow \min V=54$ khi $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}\left( 2 \right)$
Từ (1), (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ S=a+b+c=18$
Đáp án A.