Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0...

Phương trình mặt phẳng (ABC) là ${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1.$
Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có ${\displaystyle \frac{2}{a}}+{\displaystyle \frac{4}{b}}+{\displaystyle \frac{5}{c}}=1$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=({\displaystyle \frac{1}{a}};{\displaystyle \frac{1}{b}};{\displaystyle \frac{1}{c}})$.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Ta có $\overrightarrow{IM}=(1;2;2)$ nên IM = 3 (1)
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng $8\pi$ suy ra bán kính r = 4.
Ta có $IH=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(2)$
Vì $IH\mathrm{\perp }(ABC)$ và $M\in (ABC)$ nên $IM\ge IH$ (3)
Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay $M\equiv H.$
Khi đó $IM\mathrm{\perp }(ABC)$ nên $\overrightarrow{IM}$ là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Suy ra $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{IM}(k\ne 0)\iff \{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{a}}=k.\\ & {\displaystyle \frac{1}{b}}=2k\\ & {\displaystyle \frac{1}{c}}=2k\end{array}$.
Vì ${\displaystyle \frac{2}{a}}+{\displaystyle \frac{4}{b}}+{\displaystyle \frac{5}{c}}=1$ nên $2k+8k+10k=1\iff k={\displaystyle \frac{1}{20}}.$
Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.
Vậy a + b + c = 40.