Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S): ${{(x-1)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25$ cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi $8\pi $. Giá trị của biểu thức a + b + c bằng
A. 40.
B. 4.
C. 20.
D. 30.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có $\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}=1$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \right)$.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Ta có $\overrightarrow{IM}=(1;2;2)$ nên IM = 3 (1)
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng $8\pi $ suy ra bán kính r = 4.
Ta có $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3(2)$
Vì $IH\bot (ABC)$ và $M\in (ABC)$ nên $IM\ge IH$ (3)
Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay $M\equiv H.$
Khi đó $IM\bot (ABC)$ nên $\overrightarrow{IM}$ là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Suy ra $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{IM}(k\ne 0)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}=k. \\
& \dfrac{1}{b}=2k \\
& \dfrac{1}{c}=2k \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}=1$ nên $2k+8k+10k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{20}.$
Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.
Vậy a + b + c = 40.
A. 40.
B. 4.
C. 20.
D. 30.
Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có $\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}=1$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \right)$.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.
Ta có $\overrightarrow{IM}=(1;2;2)$ nên IM = 3 (1)
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).
Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng $8\pi $ suy ra bán kính r = 4.
Ta có $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3(2)$
Vì $IH\bot (ABC)$ và $M\in (ABC)$ nên $IM\ge IH$ (3)
Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay $M\equiv H.$
Khi đó $IM\bot (ABC)$ nên $\overrightarrow{IM}$ là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Suy ra $\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{IM}(k\ne 0)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}=k. \\
& \dfrac{1}{b}=2k \\
& \dfrac{1}{c}=2k \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}=1$ nên $2k+8k+10k=1\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{20}.$
Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.
Vậy a + b + c = 40.
Đáp án A.