Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $(S):(x+1)^2+(y+4)^2+(z-3)^2=6$ và điểm $M(1 ;-2 ; 4)$. Xét điểm $N$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho đường thẳng $M N$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Khi đó điểm $N$ luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình
A. $x+y+z+1=0$.
B. $2 x+2 y+z+1=0$.
C. $2 x+y+z+2=0$.
D. $2 x+y+2 z-2=0$.
Mặt cầu $(S)$ : tâm $I(-1 ;-4 ; 3)$, bán kính $r=\sqrt{6}$.
Tập hợp các điểm $N$ là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt cầu $(S)$.
Trong đó mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $I M$ và đi qua tâm $K$ của đường tròn giao tuyến.
Xét tam giác vuông $I N M$ vuông tại $N, I M=3, I K=\dfrac{I N^2}{I M}=\dfrac{(\sqrt{6})^2}{3}=2 \Rightarrow \dfrac{I K}{I M}=\dfrac{2}{3}$.
Do đó $\overrightarrow{I K}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{I M}$ suy ra $K\left(\dfrac{1}{3} ;-\dfrac{8}{3} ; \dfrac{11}{3}\right)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $K\left(\dfrac{1}{3} ;-\dfrac{8}{3} ; \dfrac{11}{3}\right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{I M}=(2 ; 2 ; 1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $2 \cdot\left(x-\dfrac{1}{3}\right)+2 \cdot\left(y+\dfrac{8}{3}\right)+\left(z-\dfrac{11}{3}\right)=0$ hay $2 x+2 y+z+1=0$.
A. $x+y+z+1=0$.
B. $2 x+2 y+z+1=0$.
C. $2 x+y+z+2=0$.
D. $2 x+y+2 z-2=0$.
Tập hợp các điểm $N$ là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt cầu $(S)$.
Trong đó mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $I M$ và đi qua tâm $K$ của đường tròn giao tuyến.
Xét tam giác vuông $I N M$ vuông tại $N, I M=3, I K=\dfrac{I N^2}{I M}=\dfrac{(\sqrt{6})^2}{3}=2 \Rightarrow \dfrac{I K}{I M}=\dfrac{2}{3}$.
Do đó $\overrightarrow{I K}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{I M}$ suy ra $K\left(\dfrac{1}{3} ;-\dfrac{8}{3} ; \dfrac{11}{3}\right)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $K\left(\dfrac{1}{3} ;-\dfrac{8}{3} ; \dfrac{11}{3}\right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{I M}=(2 ; 2 ; 1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $2 \cdot\left(x-\dfrac{1}{3}\right)+2 \cdot\left(y+\dfrac{8}{3}\right)+\left(z-\dfrac{11}{3}\right)=0$ hay $2 x+2 y+z+1=0$.
Đáp án B.