Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2+2 x-4 y-2 z=0$ và điểm $M(0 ; 1 ; 0)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt $(S)$ theo một đường tròn $(C)$ có diện tích nhỏ nhất. Gọi $N\left(x_0 ; y_0 ; z_0\right)$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho $O N=\sqrt{6}$. Khi đó $y_0$ bằng
A. -1 .
B. 1 .
C. -2 .
D. 2 .
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1 ; 2 ; 1)$ và bán kính là $R=\sqrt{6}$.
$\overrightarrow{I M}=(1 ;-1 ;-1) \Rightarrow I M=\sqrt{3}<R \Rightarrow M$ nằm bên trong mặt cầu.
Gọi $r$ là bán kính của đường tròn $(C)$ và $H$ là hình chiếu của $I$ trên $(P) \Rightarrow H$ là tâm của đường tròn (C) và theo định lí Pytago ta có: $r^2+I H^2=R^2$.
Suy ra: Hình tròn $(C)$ có diện tích nhỏ nhất $\Leftrightarrow r$ đạt GTNN $\Leftrightarrow I H$ đạt GTLN. Mà $I H \leq I M$ và $I M$ không đổi ( $I$ và $M$ cố định) $\Rightarrow(C)$ có diện tích nhỏ nhất khi $H \equiv M \Rightarrow(P) \perp I M$.
$(P)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{I M}$ là VTPT nên phương trình của $(P)$ là: $x-y-z+1=0$.
$(C)$ là giao tuyến của $(P)$ và $(S)$ nên phương trình của $(C)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2+2 x-4 y-2 z=0 \\ x-y-z+1=0\end{array}\right.$.
Vậy ta có hệ phương trình xác định điểm $N$ : $\left\{\begin{array}{l}x_0^2+y_0^2+z_0^2+2 x_0-4 y_0-2 z_0=0 \\ x_0-y_0-z_0+1=0 \\ x_0{ }^2+y_0{ }^2+z_0{ }^2=6\end{array}\right.$
Lấy trừ theo vế ta được: $2 x_0-4 y_0-2 z_0=-6 \Leftrightarrow x_0-2 y_0-z_0=-3$ Lấy trừ theo vế ta được: $y_0=2$.
A. -1 .
B. 1 .
C. -2 .
D. 2 .
$\overrightarrow{I M}=(1 ;-1 ;-1) \Rightarrow I M=\sqrt{3}<R \Rightarrow M$ nằm bên trong mặt cầu.
Gọi $r$ là bán kính của đường tròn $(C)$ và $H$ là hình chiếu của $I$ trên $(P) \Rightarrow H$ là tâm của đường tròn (C) và theo định lí Pytago ta có: $r^2+I H^2=R^2$.
Suy ra: Hình tròn $(C)$ có diện tích nhỏ nhất $\Leftrightarrow r$ đạt GTNN $\Leftrightarrow I H$ đạt GTLN. Mà $I H \leq I M$ và $I M$ không đổi ( $I$ và $M$ cố định) $\Rightarrow(C)$ có diện tích nhỏ nhất khi $H \equiv M \Rightarrow(P) \perp I M$.
$(P)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{I M}$ là VTPT nên phương trình của $(P)$ là: $x-y-z+1=0$.
$(C)$ là giao tuyến của $(P)$ và $(S)$ nên phương trình của $(C)$ là: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2+2 x-4 y-2 z=0 \\ x-y-z+1=0\end{array}\right.$.
Vậy ta có hệ phương trình xác định điểm $N$ : $\left\{\begin{array}{l}x_0^2+y_0^2+z_0^2+2 x_0-4 y_0-2 z_0=0 \\ x_0-y_0-z_0+1=0 \\ x_0{ }^2+y_0{ }^2+z_0{ }^2=6\end{array}\right.$
Lấy trừ theo vế ta được: $2 x_0-4 y_0-2 z_0=-6 \Leftrightarrow x_0-2 y_0-z_0=-3$ Lấy trừ theo vế ta được: $y_0=2$.
Đáp án D.