Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{14}{3}$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{1}$. Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right) \left( {{x}_{0}}>0 \right)$ là điểm thuộc d sao cho từ A ta kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) và các tiếp điểm B, C, D sao cho ABCD là tứ diện đều. Tính độ dài đoạn OA.
A. $OA=4\sqrt{3}.$
B. $OA=2\sqrt{2}.$
C. $OA=2\sqrt{3}.$
D. $OA=3.$
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính $R=\sqrt{\dfrac{14}{3}}$
Vì AB là tiếp tuyến nên $AB\bot BI$, lại có $IB=IC=ID=R$
nên AI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Gọi $H=AI\cap \left( BCD \right)$, đặt $AB=a=CD\Rightarrow HB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\sin \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ mà $\Delta ABI$ vuông tại B nên
$AI.\sin \widehat{HBA}=BI=\sqrt{\dfrac{14}{3}}\Rightarrow AI=\sqrt{14}.$
Gọi $A\left( 1+3t;2+2t;3+t \right)$ ta có $A{{I}^{2}}=14{{t}^{2}}=14$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& A(-2;0;2) (lo{}^\text{1}i) \\
& A(4;4;4) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OA=4\sqrt{3}$.
A. $OA=4\sqrt{3}.$
B. $OA=2\sqrt{2}.$
C. $OA=2\sqrt{3}.$
D. $OA=3.$
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính $R=\sqrt{\dfrac{14}{3}}$
Vì AB là tiếp tuyến nên $AB\bot BI$, lại có $IB=IC=ID=R$
nên AI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Gọi $H=AI\cap \left( BCD \right)$, đặt $AB=a=CD\Rightarrow HB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\sin \widehat{HAB}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ mà $\Delta ABI$ vuông tại B nên
$AI.\sin \widehat{HBA}=BI=\sqrt{\dfrac{14}{3}}\Rightarrow AI=\sqrt{14}.$
Gọi $A\left( 1+3t;2+2t;3+t \right)$ ta có $A{{I}^{2}}=14{{t}^{2}}=14$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& A(-2;0;2) (lo{}^\text{1}i) \\
& A(4;4;4) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OA=4\sqrt{3}$.
Đáp án A.