Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=20$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $x-2y+2z-1=0$ và đường thẳng Δ có phương trình $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z+4}{-3}$. Viết phương trình đường thẳng ${\Delta }'$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, vuông góc với Δ đồng thời cắt $\left( S \right)$ theo một dây cung có độ dài lớn nhất.
A. ${\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=3t \\
& y=-2 \\
& z=-4+t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ {\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=1 \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ {\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-1+5t \\
& z=3+4t \\
\end{aligned} \right. $
D. ${\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=1-2t \\
& y=1-5t \\
& z=1-4t \\
\end{aligned} \right.$
Ta có tâm $I\left( 2;-1;3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{20}$.
Dễ thấy $d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{5}{3}<R$ suy ra $\left( \alpha \right)\cap \left( S \right)$ theo giao tuyến mà một đường tròn.
Giả sử đường thẳng ${\Delta }'$ cắt $\left( S \right)$ theo dây cung AB. Nhìn hình vẽ ta thấy $A{{B}_{\max }}$ khi và chỉ khi $I{{M}_{\min }}$ (M là hình chiếu của I lên AB).
Gọi H là hình chiếu của I lên $\left( \alpha \right)$ suy ra $IH\le IM$ hay $I{{M}_{\min }}$ khi và chỉ khi $M\equiv H$.
Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
& x-2y+2z-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 1;1;1 \right)$.
Mặt khác đường thẳng ${\Delta }'$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, vuông góc với Δ nên ${{\overrightarrow{u}}_{{{\Delta }'}}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }},{{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}} \right]=\left( -2;-5;-4 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta }'$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-2t \\
& y=1-5t \\
& z=1-4t \\
\end{aligned} \right.$.
A. ${\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=3t \\
& y=-2 \\
& z=-4+t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ {\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=1 \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ {\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-1+5t \\
& z=3+4t \\
\end{aligned} \right. $
D. ${\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=1-2t \\
& y=1-5t \\
& z=1-4t \\
\end{aligned} \right.$
Ta có tâm $I\left( 2;-1;3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{20}$.
Dễ thấy $d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{5}{3}<R$ suy ra $\left( \alpha \right)\cap \left( S \right)$ theo giao tuyến mà một đường tròn.
Giả sử đường thẳng ${\Delta }'$ cắt $\left( S \right)$ theo dây cung AB. Nhìn hình vẽ ta thấy $A{{B}_{\max }}$ khi và chỉ khi $I{{M}_{\min }}$ (M là hình chiếu của I lên AB).
Gọi H là hình chiếu của I lên $\left( \alpha \right)$ suy ra $IH\le IM$ hay $I{{M}_{\min }}$ khi và chỉ khi $M\equiv H$.
Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-2t \\
& z=3+2t \\
& x-2y+2z-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
& z=1 \\
& t=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 1;1;1 \right)$.
Mặt khác đường thẳng ${\Delta }'$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, vuông góc với Δ nên ${{\overrightarrow{u}}_{{{\Delta }'}}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }},{{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}} \right]=\left( -2;-5;-4 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta }'$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1-2t \\
& y=1-5t \\
& z=1-4t \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.