Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $A(5;6;-5)$ và M là điểm thuộc...

Mặt cầu $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ tâm $I(2;4;0)$ và bán kính $R=\sqrt{62}$.
Giao tuyến của $(S)$ và $(P)$ là một đường tròn $(C)$ có tâm J và bán kính r. Khi đó M là một điểm di động trên đường tròn $(C)$.
Tâm J là hình chiéu vuông góc của I trên $(P)\Rightarrow IJ:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=4+2t \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow J(2+t;4+2t;-t)$
Cho $J\in (P)\Rightarrow t+2+4t+8+t-4=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow J(1;2;1)$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng
$(P)\Rightarrow AH:\left\{ \begin{aligned}
& x=5+u \\
& y=6+2u \\
& z=-5-u \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H(5+u;6+2u;-5-u)$
Giải $H\in (P)\Rightarrow u+5+4u+12+u+5-4=0\Rightarrow u=-3\Rightarrow H(2;0;-2)$
Ta có: $A{{M}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}=54+H{{M}^{2}}$
Mặt khác $H{{M}_{\min }}=H{{M}_{1}}=\left| HJ-r \right|$ trong đó $HJ=\sqrt{14},r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I;(P) \right)}=2\sqrt{14}$
Suy ra $AM=\sqrt{54+H{{M}^{2}}}$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{54+{{\left( \sqrt{14}-2\sqrt{14} \right)}^{2}}}=2\sqrt{17}$.