Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{Oxyz}$, cho mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=9$ và điểm $M(4;2;3)$. Một đường thẳng bất kì đi qua $M$ cắt (S) tại $A,B$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của $M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}$ bằng
A. 64.
B. 32.
C. 16.
D. 8.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( 1;2;-1 \right)$, bán kính $R=3.$ Khi đó $(S)\cap \left( d,I \right)=C\left( I,3 \right).$
Kẻ đường thẳng $MI,\ MI\cap \left( C \right)=\left\{ N,K \right\}.$
Ta có $\overrightarrow{MI}=\left( -3;0;-4 \right)\Rightarrow MI=5>3=R\Rightarrow M$ nằm ngoài mặt cầu.
Ta có $MN=2,MK=8.$
Mà $MN.MK=MA.MB\Rightarrow MA.MB=2.8=16.$
Do đó $M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}\ge 4MA.MB=64.$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}} \\
& M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}=64 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MA=4\sqrt{2} \\
& MB=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
A. 64.
B. 32.
C. 16.
D. 8.
Kẻ đường thẳng $MI,\ MI\cap \left( C \right)=\left\{ N,K \right\}.$
Ta có $\overrightarrow{MI}=\left( -3;0;-4 \right)\Rightarrow MI=5>3=R\Rightarrow M$ nằm ngoài mặt cầu.
Ta có $MN=2,MK=8.$
Mà $MN.MK=MA.MB\Rightarrow MA.MB=2.8=16.$
Do đó $M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}\ge 4MA.MB=64.$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}} \\
& M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}=64 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MA=4\sqrt{2} \\
& MB=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.