Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{Ox}yz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{-1}$ và hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right),$ $B\left( 3;-1;-5 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và cắt đường thẳng $\Delta $ sao cho khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $d$ lớn nhất, $\overrightarrow{u}=\left( 1;a;b \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d.$ Giá trị của $\dfrac{a}{b}$ bằng
A. $-2.$
B. $-\dfrac{1}{2}.$
C. $2.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Cách 1: Giả sử $d\bigcap \Delta =M\left( -1+2t;3t;-1-t \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right)$, $\overrightarrow{AM}=\left( -2+2t;3t-2;-t \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$. Ta có $AB\ge HB=d\left( B;d \right)$.
Vậy $M\text{ax}d\left( B;d \right)=AB\Leftrightarrow AB\bot d\Leftrightarrow AB\bot AM\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow t=2$
$\overrightarrow{AM}=\left( 2;4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$. Từ đây ta suy ra $\dfrac{a}{b}=-2.$
Cách 2: Giả sử $d\bigcap \Delta =M\left( -1+2t;3t;-1-t \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right)$. $\overrightarrow{AM}=\left( -2+2t;3t-2;-t \right)$
$d\left( B;\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=\dfrac{\sqrt{405{{t}^{2}}-576t+228}}{\sqrt{14{{t}^{2}}-20t+8}}$
$M\text{ax}d\left( B;\Delta \right)=\dfrac{\sqrt{405{{t}^{2}}-576t+228}}{\sqrt{14{{t}^{2}}-20t+8}}=\sqrt{29}$ tại $t=2\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 2;4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$
Từ đây ta suy ra $\dfrac{a}{b}=-2.$
Cách 3: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$. Ta có $AB\ge HB=d\left( B;d \right)$.
Vậy $M\text{ax}d\left( B;d \right)=AB\Leftrightarrow AB\bot d$ hay đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $AB$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: $2x-3y-4z=0.$
Gọi $\left( \alpha \right)\bigcap \Delta =H$, suy ra tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{-1} \\
& 2x-3y-4z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=6 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 3;6;-3 \right)$.
Đường thẳng $AH$ qua A và cắt $\Delta $ tại $H$, $d\left( B;AH \right)=AB.$
Giả sử $d\bigcap \Delta =K$,
$\overrightarrow{AH}=\left( 2;4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$. Từ đây ta suy ra $\dfrac{a}{b}=-2.$
A. $-2.$
B. $-\dfrac{1}{2}.$
C. $2.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Cách 1: Giả sử $d\bigcap \Delta =M\left( -1+2t;3t;-1-t \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right)$, $\overrightarrow{AM}=\left( -2+2t;3t-2;-t \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$. Ta có $AB\ge HB=d\left( B;d \right)$.
Vậy $M\text{ax}d\left( B;d \right)=AB\Leftrightarrow AB\bot d\Leftrightarrow AB\bot AM\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow t=2$
$\overrightarrow{AM}=\left( 2;4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$. Từ đây ta suy ra $\dfrac{a}{b}=-2.$
Cách 2: Giả sử $d\bigcap \Delta =M\left( -1+2t;3t;-1-t \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right)$. $\overrightarrow{AM}=\left( -2+2t;3t-2;-t \right)$
$d\left( B;\Delta \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=\dfrac{\sqrt{405{{t}^{2}}-576t+228}}{\sqrt{14{{t}^{2}}-20t+8}}$
$M\text{ax}d\left( B;\Delta \right)=\dfrac{\sqrt{405{{t}^{2}}-576t+228}}{\sqrt{14{{t}^{2}}-20t+8}}=\sqrt{29}$ tại $t=2\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 2;4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$
Từ đây ta suy ra $\dfrac{a}{b}=-2.$
Cách 3: Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2;-3;-4 \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$. Ta có $AB\ge HB=d\left( B;d \right)$.
Vậy $M\text{ax}d\left( B;d \right)=AB\Leftrightarrow AB\bot d$ hay đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $AB$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: $2x-3y-4z=0.$
Gọi $\left( \alpha \right)\bigcap \Delta =H$, suy ra tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{-1} \\
& 2x-3y-4z=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=6 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 3;6;-3 \right)$.
Đường thẳng $AH$ qua A và cắt $\Delta $ tại $H$, $d\left( B;AH \right)=AB.$
Giả sử $d\bigcap \Delta =K$,
$\overrightarrow{AH}=\left( 2;4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 1;2;-1 \right)$. Từ đây ta suy ra $\dfrac{a}{b}=-2.$
Đáp án A.