Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua $A\left(...

Ta có: ${\overrightarrow{n}}_P=(2;1;1)$ là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\{\begin{array}{rl}& x=2+3t\\ & y=2+t\\ & z=2+5t\end{array},t\in \mathbb{R}$.
Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng cần tìm. Gọi $M$ là giao điểm của $\mathrm{\Delta }$ và $d$ $\Rightarrow M(2+3t;2+t;2+5t)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(1+3t;t;-2+5t)$
Do $\mathrm{\Delta }\text{//}\left(P\right)$ nên $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n_P}=0\iff 2(1+3t)+t+(-2+5t)=0\iff 12t=0\iff t=0$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(1;0;-2)$.
Phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $A(1;2;4)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=(1;0;-2)$ là một vec tơ chỉ phương là: $\{\begin{array}{rl}& x=1+t\\ & y=2\\ & z=4-2t\end{array},t\in \mathbb{R}$.