Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua $A\left(...

Ta có: ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 2;1;1 \right)$ là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+3t \\
& y=2+t \\
& z=2+5t \\
\end{aligned} \right. , t\in \mathbb{R}$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm. Gọi $M$ là giao điểm của $\Delta $ và $d$ $\Rightarrow M\left( 2+3t;2+t;2+5t \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 1+3t;t;-2+5t \right)$
Do $\Delta \text{//}\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 1+3t \right)+t+\left( -2+5t \right)=0\Leftrightarrow 12t=0\Leftrightarrow t=0$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 1;0;-2 \right)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( 1;2;4 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 1;0;-2 \right)$ là một vec tơ chỉ phương là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2 \\
& z=4-2t \\
\end{aligned} \right. , t\in \mathbb{R}$.