Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 2; 5; 3 \right)$ cắt đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{2}$ tại hai điểm phân biệt A, B với chu kì tam giác IAB bằng $10+2\sqrt{7}$. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ ?
A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=100$
B. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=7$
C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$
D. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8$
A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=100$
B. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=7$
C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$
D. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8$
Gọi R là bán kính của mặt cầu, H là trung điểm của AB.
Ta có $IH\bot AB\Rightarrow IH=d\left( I; d \right)$. d qua $M\left( 1; 0; 2 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 2; 1; 2 \right)$,
$\overrightarrow{IM}=\left( -1; -5; -1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{IM} \right]=\left( 9; 0; -9 \right)\Rightarrow IH=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{IM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=3\sqrt{2}$
$AB=2\text{A}H=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-18}, R>3\sqrt{2}$.
Chu vi $\Delta ABC$ là $IA+IB+AB=10+2\sqrt{7}\Rightarrow 2\text{R}+2\sqrt{{{R}^{2}}-18}=10+2\sqrt{7}$
$\Leftrightarrow R+\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=5+\sqrt{7}\Leftrightarrow R-5+\dfrac{{{R}^{2}}-25}{\sqrt{{{R}^{2}}-18}+\sqrt{7}}=0$
$\Leftrightarrow \left( R-5 \right)\left( 1+\dfrac{R+5}{\sqrt{{{R}^{2}}-18}+\sqrt{7}} \right)=0$
$\Leftrightarrow R=5$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; 5; 3 \right)$, bán kính $R=5$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$.
Chú ý:
$\underbrace{R+\sqrt{{{R}^{2}}-18}-5-\sqrt{7}=0}_{f\left( R \right)}$ có ${f}'\left( R \right)=1+\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-18}}>0$ với mọi $R>3\sqrt{2}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $R=5$.
Ta có $IH\bot AB\Rightarrow IH=d\left( I; d \right)$. d qua $M\left( 1; 0; 2 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 2; 1; 2 \right)$,
$\overrightarrow{IM}=\left( -1; -5; -1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{IM} \right]=\left( 9; 0; -9 \right)\Rightarrow IH=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u}; \overrightarrow{IM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=3\sqrt{2}$
$AB=2\text{A}H=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-18}, R>3\sqrt{2}$.
Chu vi $\Delta ABC$ là $IA+IB+AB=10+2\sqrt{7}\Rightarrow 2\text{R}+2\sqrt{{{R}^{2}}-18}=10+2\sqrt{7}$
$\Leftrightarrow R+\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=5+\sqrt{7}\Leftrightarrow R-5+\dfrac{{{R}^{2}}-25}{\sqrt{{{R}^{2}}-18}+\sqrt{7}}=0$
$\Leftrightarrow \left( R-5 \right)\left( 1+\dfrac{R+5}{\sqrt{{{R}^{2}}-18}+\sqrt{7}} \right)=0$
$\Leftrightarrow R=5$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2; 5; 3 \right)$, bán kính $R=5$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$.
Chú ý:
$\underbrace{R+\sqrt{{{R}^{2}}-18}-5-\sqrt{7}=0}_{f\left( R \right)}$ có ${f}'\left( R \right)=1+\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-18}}>0$ với mọi $R>3\sqrt{2}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $R=5$.
Đáp án C.