Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a}=\left( 1;-1;0 \right)$ và hai điểm $A\left( -4;7;3 \right)$, $B\left( 4;4;5 \right)$. Giả sử M, N là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và $MN=5\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng
A. $\sqrt{17}$.
B. $\sqrt{77}$.
C. $7\sqrt{2}-3$.
D. $\sqrt{82}-5$.
A. $\sqrt{17}$.
B. $\sqrt{77}$.
C. $7\sqrt{2}-3$.
D. $\sqrt{82}-5$.
Gọi $M\left( x;y;0 \right)$ mà $\overrightarrow{MN}=k\vec{a}\left( k>0 \right)$
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}-x=k \\
& {{y}_{N}}-y=-k \\
& {{z}_{N}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( x+k;y-k;0 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( k;-k;0 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2{{k}^{2}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{k}^{2}}=25\Rightarrow k=5$
Tịnh tiến điểm $A\left( -4;7;3 \right)$ theo véctơ $\overrightarrow{MN}$, ta được ${A}'\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow AM=N{A}'$
Do đó $\left| AM-BN \right|=\left| {A}'N-BN \right|\le {A}'B=\sqrt{17}$. Dấu bằng xảy ra khi ${A}'$, B, N thẳng hàng.
Độ dài véctơ $\vec{a}=\left( x;y;z \right)$ là $\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$.
Công thức tịnh tiến biến điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thành điểm ${M}'\left( x;y;z \right)$ theo véctơ $\vec{u}=\left( a;b;c \right)$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+a \\
& y={{y}_{0}}+b \\
& z={{z}_{0}}+c \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}-x=k \\
& {{y}_{N}}-y=-k \\
& {{z}_{N}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( x+k;y-k;0 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( k;-k;0 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2{{k}^{2}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{k}^{2}}=25\Rightarrow k=5$
Tịnh tiến điểm $A\left( -4;7;3 \right)$ theo véctơ $\overrightarrow{MN}$, ta được ${A}'\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow AM=N{A}'$
Do đó $\left| AM-BN \right|=\left| {A}'N-BN \right|\le {A}'B=\sqrt{17}$. Dấu bằng xảy ra khi ${A}'$, B, N thẳng hàng.
Note 19: Phương pháp chung
Tọa độ véctơ $\overrightarrow{MN}=\left( {{x}_{N}}-{{x}_{M}};{{y}_{N}}-{{y}_{M}};{{z}_{N}}-{{z}_{M}} \right)$.Độ dài véctơ $\vec{a}=\left( x;y;z \right)$ là $\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$.
Công thức tịnh tiến biến điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thành điểm ${M}'\left( x;y;z \right)$ theo véctơ $\vec{u}=\left( a;b;c \right)$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+a \\
& y={{y}_{0}}+b \\
& z={{z}_{0}}+c \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án A.