Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left( m;0;0 \right)$, $B\left( 0;m-1;0 \right)$ ; $C\left( 0;0;m+4 \right)$ thỏa mãn $BC=AD$, $CA=BD$ và $AB=CD$. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện $ABCD$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
C. $\sqrt{7}$.
D. $\sqrt{14}$.
Đặt $BC=a$ ; $CA=b$ ; $AB=c$.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trrung điểm của $AB$ và $CD$.
Theo giả thiết ta có tam giác $\Delta ABC=\Delta CDA$ $\left( c.c.c \right)$ $\Rightarrow CM=DM$ hay tam giác $CMD$ cân tại $M$ $\Rightarrow MN\bot CD$.
Chứng minh tương tự ta cũng có $MN\bot AB$.
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ thì $IA=IB$ và $IC=ID$.
Mặt khác ta lại có $AB=CD$ nên $\Delta BMI=\Delta CNI$ $\Rightarrow IB=IC$ hay $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.
Ta có $I{{A}^{2}}=I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}$ $=\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$ $=\dfrac{M{{N}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}$.
Mặt khác $CM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ nên $C{{M}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow M{{N}^{2}}=C{{I}^{2}}-C{{N}^{2}}$ $=\dfrac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2}$.
Vậy $I{{A}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}$.
Với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{m}^{2}}+2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2{{\left( m+4 \right)}^{2}}$ $=6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28$
Vậy $I{{A}^{2}}=\dfrac{6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28}{8}\ge \dfrac{7}{2}$ $\Rightarrow I{{A}_{\min }}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
C. $\sqrt{7}$.
D. $\sqrt{14}$.
Đặt $BC=a$ ; $CA=b$ ; $AB=c$.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là trrung điểm của $AB$ và $CD$.
Theo giả thiết ta có tam giác $\Delta ABC=\Delta CDA$ $\left( c.c.c \right)$ $\Rightarrow CM=DM$ hay tam giác $CMD$ cân tại $M$ $\Rightarrow MN\bot CD$.
Chứng minh tương tự ta cũng có $MN\bot AB$.
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ thì $IA=IB$ và $IC=ID$.
Mặt khác ta lại có $AB=CD$ nên $\Delta BMI=\Delta CNI$ $\Rightarrow IB=IC$ hay $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.
Ta có $I{{A}^{2}}=I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}$ $=\dfrac{M{{N}^{2}}}{4}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$ $=\dfrac{M{{N}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}$.
Mặt khác $CM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ nên $C{{M}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow M{{N}^{2}}=C{{I}^{2}}-C{{N}^{2}}$ $=\dfrac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}-\dfrac{{{c}^{2}}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2}$.
Vậy $I{{A}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}$.
Với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{m}^{2}}+2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2{{\left( m+4 \right)}^{2}}$ $=6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28$
Vậy $I{{A}^{2}}=\dfrac{6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28}{8}\ge \dfrac{7}{2}$ $\Rightarrow I{{A}_{\min }}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.
Đáp án B.