Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;0 \right)$ và hai điểm $A\left( -4;7;3 \right),B\left( 4;4;5 \right)$. Giả sử M, N là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng (Oxy) sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và $MN=5\sqrt{2}.$ Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng
A. $\sqrt{17}.$
B. $\sqrt{77}.$
C. $7\sqrt{2}-3.$
D. $\sqrt{82}-5.$
A. $\sqrt{17}.$
B. $\sqrt{77}.$
C. $7\sqrt{2}-3.$
D. $\sqrt{82}-5.$
Gọi $M\left( x;y;0 \right)$ mà $\overrightarrow{MN}=k \overrightarrow{a}\left( k>0 \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}-x=k \\
& {{y}_{N}}-y=-k \\
& {{z}_{N}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( x+k;y-k;0 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( k;-k;0 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2{{k}^{2}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{k}^{2}}=25\Rightarrow k=5$
Tịnh tiến điểm $A\left( -4;7;3 \right)$ theo vectơ $\overrightarrow{MN},$ ta được $A'\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow AM=NA'$
Do đó $\left| AM-BN \right|=\left| A'N-BN \right|\le A'B=\sqrt{17}$. Dấu bằng xảy ra khi A', B, N thẳng hàng.
& {{x}_{N}}-x=k \\
& {{y}_{N}}-y=-k \\
& {{z}_{N}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( x+k;y-k;0 \right)$
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( k;-k;0 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2{{k}^{2}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow {{k}^{2}}=25\Rightarrow k=5$
Tịnh tiến điểm $A\left( -4;7;3 \right)$ theo vectơ $\overrightarrow{MN},$ ta được $A'\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow AM=NA'$
Do đó $\left| AM-BN \right|=\left| A'N-BN \right|\le A'B=\sqrt{17}$. Dấu bằng xảy ra khi A', B, N thẳng hàng.
Đáp án A.