Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( Q \right):x-2y+z-5=0$ và mặt cầu có phương trình là $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=15$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng $6\pi $. Khi đó $\left( P \right)$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $M\left( 0;-1;-5 \right)$
B. $M\left( 1;-2;0 \right)$
C. $M\left( 2;-2;1 \right)$
D. $M\left( -2;2;-1 \right)$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;-2 \right)$ bán kính $R=\sqrt{15}$
$\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$ nên phương trình có dạng:
$\left( P \right):x-2y+z+D=0$ (với $D\ne -5$ )
Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến
$\Rightarrow C=2\pi r=6\pi \Leftrightarrow r=3$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$
$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn
Ta có $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)=\sqrt{6}\Leftrightarrow \dfrac{\left| D-1 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| D-1 \right|=6$
$\Leftrightarrow D=-5$ (loại) $\cup D=7$
Vậy $\left( P \right):x-2y+z+7=0$ đi qua $M\left( -2;2;-1 \right)$
A. $M\left( 0;-1;-5 \right)$
B. $M\left( 1;-2;0 \right)$
C. $M\left( 2;-2;1 \right)$
D. $M\left( -2;2;-1 \right)$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;0;-2 \right)$ bán kính $R=\sqrt{15}$
$\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$ nên phương trình có dạng:
$\left( P \right):x-2y+z+D=0$ (với $D\ne -5$ )
Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến
$\Rightarrow C=2\pi r=6\pi \Leftrightarrow r=3$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( P \right)$
$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn
Ta có $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{6}$
$\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)=\sqrt{6}\Leftrightarrow \dfrac{\left| D-1 \right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| D-1 \right|=6$
$\Leftrightarrow D=-5$ (loại) $\cup D=7$
Vậy $\left( P \right):x-2y+z+7=0$ đi qua $M\left( -2;2;-1 \right)$
Đáp án D.