Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+z-3=0$ và hai điểm $A\left( 1;0;1 \right),B\left( 2;1;0 \right)$. Mặt phẳng $\left( Q \right):ax+by+cz-4=0$ đi qua hai điểm $A$ và $B$, đồng thời vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Tính $a+b+c$.
A. 6.
B. 3.
C. $-6.$
D. $-3.$
A. 6.
B. 3.
C. $-6.$
D. $-3.$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( 1;-2;1 \right).$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ qua $A,B$ và $\left( Q \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \left( Q \right)$ sẽ nhận $\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n} \right]$ là một VTPT.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right) \\
& \overrightarrow{n}=\left( 1;-2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n} \right]=\left( -1;-2;-3 \right)\Rightarrow \left( Q \right) $ nhận $ \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTPT.
Kết hợp với $\left( Q \right)$ qua $A\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \left( Q \right):1.\left( x-1 \right)+2\left( y-0 \right)+3\left( z-1 \right)=0$
$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+3z-4=0.$
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ qua $A,B$ và $\left( Q \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \left( Q \right)$ sẽ nhận $\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n} \right]$ là một VTPT.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right) \\
& \overrightarrow{n}=\left( 1;-2;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n} \right]=\left( -1;-2;-3 \right)\Rightarrow \left( Q \right) $ nhận $ \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là một VTPT.
Kết hợp với $\left( Q \right)$ qua $A\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \left( Q \right):1.\left( x-1 \right)+2\left( y-0 \right)+3\left( z-1 \right)=0$
$\Rightarrow \left( Q \right):x+2y+3z-4=0.$
Đáp án A.