Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng
$d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Hình chiếu vuông góc của d trên $\left( P \right)$ có phương trình là
A. $\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+1}{5}.$
B. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}.$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z-1}{-5}.$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{z+5}{1}.$
$d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Hình chiếu vuông góc của d trên $\left( P \right)$ có phương trình là
A. $\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+1}{5}.$
B. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}.$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z-1}{-5}.$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{z+5}{1}.$
Định hướng giải:
Bước 1: Tìm giao điểm A của $(P)$ và $d$.
Bước 2: Tìm vec-tơ pháp tuyến của $(Q)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với $(P)$
Bước 3; Tính vec-tơ chỉ phương của đường thẳng $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}},\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]$ rồi viết phương trình.
Hướng Dẫn. Phương trình của tham số của đường thẳng d là:$\left\{ \begin{matrix}
x=t \\
y=-1+2t \\
z=2-t \\
\end{matrix}. \right.$
Gọi A là giao điểm của $(P)$ và $d$. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:$\left\{ \begin{matrix}
x=t \\
y=-1+2t \\
z=2-t \\
x+y+z-3=0 \\
\end{matrix} \right. $ Suy ra$ A\left( 1;1;1 \right) $. Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương là $ \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right) $, mặt phẳng$ (P) $ có vec-tơ pháp tuyến là$ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right) $. Gọi$ (Q) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với$ (P) $. Khi đó$ (Q) $ có vec-tơ pháp tuyến $ \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 3;-2;-1 \right) $. Đường thẳng$ \Delta $ là hình chiếu vuông góc của d lên$ (P) $ chính là giao tuyến của$ (P) $ và$ (Q) $. Suy ra vec-tơ chỉ phương của$ \Delta $ là$ \overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}},\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]=\left( 1;4;-5 \right).$
Vậy hình chiếu vuông góc của d trên $(P)$ có phương trình là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z-1}{-5}.$
Bước 1: Tìm giao điểm A của $(P)$ và $d$.
Bước 2: Tìm vec-tơ pháp tuyến của $(Q)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với $(P)$
Bước 3; Tính vec-tơ chỉ phương của đường thẳng $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}},\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]$ rồi viết phương trình.
Hướng Dẫn. Phương trình của tham số của đường thẳng d là:$\left\{ \begin{matrix}
x=t \\
y=-1+2t \\
z=2-t \\
\end{matrix}. \right.$
Gọi A là giao điểm của $(P)$ và $d$. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:$\left\{ \begin{matrix}
x=t \\
y=-1+2t \\
z=2-t \\
x+y+z-3=0 \\
\end{matrix} \right. $ Suy ra$ A\left( 1;1;1 \right) $. Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương là $ \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right) $, mặt phẳng$ (P) $ có vec-tơ pháp tuyến là$ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right) $. Gọi$ (Q) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với$ (P) $. Khi đó$ (Q) $ có vec-tơ pháp tuyến $ \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( 3;-2;-1 \right) $. Đường thẳng$ \Delta $ là hình chiếu vuông góc của d lên$ (P) $ chính là giao tuyến của$ (P) $ và$ (Q) $. Suy ra vec-tơ chỉ phương của$ \Delta $ là$ \overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{(P)}}},\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}} \right]=\left( 1;4;-5 \right).$
Vậy hình chiếu vuông góc của d trên $(P)$ có phương trình là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z-1}{-5}.$
Đáp án C.