Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ : $x+2y-2z+5=0$ và 2 mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ : ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=1$, $\left( {{S}_{2}} \right)$ : ${{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4$. Gọi M, A, B lần lượt thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$.
A. 11.
B. $2\sqrt{14}-3$.
C. $\sqrt{15}-3$.
D. $3\sqrt{6}-3$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;-2 \right)$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 2;0;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=1$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -4;-2;3 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=2$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -6;-2;4 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=2\sqrt{14}>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ suy ra $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$ nằm ngoài nhau.
Lại có $\left( {{x}_{{{I}_{1}}}}+2{{y}_{{{I}_{1}}}}-2{{z}_{{{I}_{1}}}}+5 \right)\left( {{x}_{{{I}_{2}}}}+2{{y}_{{{I}_{2}}}}-2{{z}_{{{I}_{2}}}}+5 \right)<0$ nên ${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$ nằm khác phía đối với $\left( P \right)$.
Ngoài ra $d\left( {{I}_{1}},\left( P \right) \right)=3>{{R}_{1}}$, $d\left( {{I}_{2}},\left( P \right) \right)=3>{{R}_{2}}$.
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$ với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$.
Ta có
$MA+MB+A{{I}_{1}}+B{{I}_{2}}\ge {{I}_{1}}{{I}_{2}}\Leftrightarrow MA+MB+N{{I}_{1}}+P{{I}_{2}}\ge {{I}_{1}}N+NP+P{{I}_{2}}\Leftrightarrow MA+MB\ge NP$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A\equiv N$, $B\equiv P$ và M, N, P thẳng hàng.
Khi đó ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}=NP={{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=2\sqrt{14}-3$.
A. 11.
B. $2\sqrt{14}-3$.
C. $\sqrt{15}-3$.
D. $3\sqrt{6}-3$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}\left( 2;0;-1 \right)$ và bán kính ${{R}_{1}}=1$.
Mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}\left( -4;-2;3 \right)$ và bán kính ${{R}_{2}}=2$.
Ta có $\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( -6;-2;4 \right)\Rightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=2\sqrt{14}>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ suy ra $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$ nằm ngoài nhau.
Lại có $\left( {{x}_{{{I}_{1}}}}+2{{y}_{{{I}_{1}}}}-2{{z}_{{{I}_{1}}}}+5 \right)\left( {{x}_{{{I}_{2}}}}+2{{y}_{{{I}_{2}}}}-2{{z}_{{{I}_{2}}}}+5 \right)<0$ nên ${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$ nằm khác phía đối với $\left( P \right)$.
Ngoài ra $d\left( {{I}_{1}},\left( P \right) \right)=3>{{R}_{1}}$, $d\left( {{I}_{2}},\left( P \right) \right)=3>{{R}_{2}}$.
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng ${{I}_{1}}{{I}_{2}}$ với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$.
Ta có
$MA+MB+A{{I}_{1}}+B{{I}_{2}}\ge {{I}_{1}}{{I}_{2}}\Leftrightarrow MA+MB+N{{I}_{1}}+P{{I}_{2}}\ge {{I}_{1}}N+NP+P{{I}_{2}}\Leftrightarrow MA+MB\ge NP$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A\equiv N$, $B\equiv P$ và M, N, P thẳng hàng.
Khi đó ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}=NP={{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=2\sqrt{14}-3$.
Đáp án B.