Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và ba điểm $A\left( 1;2;1 \right),B\left( 0;1;2 \right),C\left( 0;0;3 \right)$. Điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}+2M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị ${{x}_{0}}+2{{y}_{0}}-{{z}_{0}}$ bằng
A. $\dfrac{2}{9}$.
B. $\dfrac{6}{9}$.
C. $\dfrac{46}{9}$.
D. $\dfrac{4}{9}$.
A. $\dfrac{2}{9}$.
B. $\dfrac{6}{9}$.
C. $\dfrac{46}{9}$.
D. $\dfrac{4}{9}$.
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{6}\left( \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC} \right)$
$\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6};\dfrac{13}{6} \right)$. Khi đó, ta có: $Q=M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}+2M{{C}^{2}}$.
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=6M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2I{{C}^{2}}$
Do $I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2I{{C}^{2}}$ không đổi nên $Q$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$.
$MI\bot \left( P \right)$ nên phương trình $MI$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{6}+t \\
& y=\dfrac{5}{6}+t \\
& z=\dfrac{13}{6}+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{6}+t;\dfrac{5}{6}+t;\dfrac{13}{6}+t \right)$.
$M\in \left( P \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}+t+\dfrac{5}{6}+t+\dfrac{13}{6}+t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{5}{18}\Rightarrow M\left( \dfrac{4}{9};\dfrac{10}{9};\dfrac{22}{9} \right)$
Suy ra ${{x}_{0}}+2{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{20}{9}-\dfrac{22}{9}=\dfrac{2}{9}$.
$\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6};\dfrac{13}{6} \right)$. Khi đó, ta có: $Q=M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}+2M{{C}^{2}}$.
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=6M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2I{{C}^{2}}$
Do $I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}+2I{{C}^{2}}$ không đổi nên $Q$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$.
$MI\bot \left( P \right)$ nên phương trình $MI$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{6}+t \\
& y=\dfrac{5}{6}+t \\
& z=\dfrac{13}{6}+t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{6}+t;\dfrac{5}{6}+t;\dfrac{13}{6}+t \right)$.
$M\in \left( P \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}+t+\dfrac{5}{6}+t+\dfrac{13}{6}+t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{5}{18}\Rightarrow M\left( \dfrac{4}{9};\dfrac{10}{9};\dfrac{22}{9} \right)$
Suy ra ${{x}_{0}}+2{{y}_{0}}-{{z}_{0}}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{20}{9}-\dfrac{22}{9}=\dfrac{2}{9}$.
Đáp án A.