Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $\left( P \right):4y-z+3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc mặt phẳng $Oxy$ với tung độ nguyên, mà từ $M$ kẻ được tiếp tuyến với $\left( S \right)$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.
A. 34
B. 18
C. 32
D. 20
A. 34
B. 18
C. 32
D. 20
Ta có $\left( S \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4$ có tâm là $I\left( 4;-4;2 \right)$ và bán kính $R=2$.
Do $M\in \left( Oxy \right)\Leftrightarrow M\left( x;y;0 \right)$. Gọi $d$ là tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $\left( S \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( x-4;y+4;-2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{IM} \right]=\left( -y+4;x-4;4x-16 \right)$
Để $d$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$ $\Leftrightarrow d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{IM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -y+4 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( 4x-16 \right)}^{2}}}}{\sqrt{17}}=2$
$\Leftrightarrow {{\left( -y+4 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( 4x-16 \right)}^{2}}=68\Leftrightarrow {{\left( y-4 \right)}^{2}}=17\left[ 4-{{\left( x-4 \right)}^{2}} \right]\left( * \right)$
Do $17\left[ 4-{{\left( x-4 \right)}^{2}} \right]\le 68$ nên ${{\left( y-4 \right)}^{2}}\le 68\Leftrightarrow -2\sqrt{17}-4\le y\le -2\sqrt{17}+4$
Mà $y$ là số nguyên nên $y\in \left\{ -12;-11;...;4 \right\}$.
Với mỗi giá trị $y$ ta có hai giá trị $x$ tương ứng nên có tất cả $34$ điểm $M$ thỏa mãn.
Do $M\in \left( Oxy \right)\Leftrightarrow M\left( x;y;0 \right)$. Gọi $d$ là tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $\left( S \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( x-4;y+4;-2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{IM} \right]=\left( -y+4;x-4;4x-16 \right)$
Để $d$ là tiếp tuyến của $\left( S \right)$ $\Leftrightarrow d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{IM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{{{\left( -y+4 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( 4x-16 \right)}^{2}}}}{\sqrt{17}}=2$
$\Leftrightarrow {{\left( -y+4 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( 4x-16 \right)}^{2}}=68\Leftrightarrow {{\left( y-4 \right)}^{2}}=17\left[ 4-{{\left( x-4 \right)}^{2}} \right]\left( * \right)$
Do $17\left[ 4-{{\left( x-4 \right)}^{2}} \right]\le 68$ nên ${{\left( y-4 \right)}^{2}}\le 68\Leftrightarrow -2\sqrt{17}-4\le y\le -2\sqrt{17}+4$
Mà $y$ là số nguyên nên $y\in \left\{ -12;-11;...;4 \right\}$.
Với mỗi giá trị $y$ ta có hai giá trị $x$ tương ứng nên có tất cả $34$ điểm $M$ thỏa mãn.
Đáp án A.