Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x+2y-z-1=0$, điểm $A(1;0;2)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=1+t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Tìm phương trình đường thẳng $ \Delta $ đi qua $ A $ cắt $ d $ và $ (P) $ lần lượt tại hai điểm $ M;N $ sao cho $ M $ thuộc đoạn thẳng $ AN $và $ MA=3MN.$
A. $\dfrac{x-1}{14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
B. $\dfrac{x-1}{10}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
C. $\dfrac{x-1}{14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{-13}.$
D. $\dfrac{x-1}{-14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
& x=-1+2t \\
& y=1+t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $. Tìm phương trình đường thẳng $ \Delta $ đi qua $ A $ cắt $ d $ và $ (P) $ lần lượt tại hai điểm $ M;N $ sao cho $ M $ thuộc đoạn thẳng $ AN $và $ MA=3MN.$
A. $\dfrac{x-1}{14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
B. $\dfrac{x-1}{10}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
C. $\dfrac{x-1}{14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{-13}.$
D. $\dfrac{x-1}{-14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
Điểm $M$ thuộc đoạn thẳng AN $\Rightarrow \overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MN}$
Điểm $M\in d\Rightarrow M(-1+2t;1+t;t)$ $\Rightarrow \left( 2-2t;-1-t;2-t \right)=-3\left( {{x}_{n}}+1-2t;{{y}_{n}}-1-t;{{z}_{n}}-t \right).$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-2t=-3{{x}_{n}}-3+6t \\
& -1-t=-3{{y}_{n}}+3+3t \\
& 2-t=-3{{z}_{n}}+3t \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow N\left( \dfrac{8t-5}{3};\dfrac{4t+4}{3};\dfrac{4t-2}{3} \right).$
Do điểm $N\in (P):x+2y-z-1=0\Rightarrow \dfrac{8t-5}{3}+2.\dfrac{4t+4}{3}-\dfrac{4t-2}{3}-1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{6}.$
$\Rightarrow M\left( \dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{6};\dfrac{-1}{6} \right);N\left( \dfrac{-19}{9};\dfrac{10}{9};\dfrac{-8}{9} \right)\Rightarrow \overrightarrow{NM}\left( \dfrac{7}{9};\dfrac{-10}{36};\dfrac{26}{36} \right)=\left( 14;-5;13 \right).$
$\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-1}{14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
Điểm $M\in d\Rightarrow M(-1+2t;1+t;t)$ $\Rightarrow \left( 2-2t;-1-t;2-t \right)=-3\left( {{x}_{n}}+1-2t;{{y}_{n}}-1-t;{{z}_{n}}-t \right).$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-2t=-3{{x}_{n}}-3+6t \\
& -1-t=-3{{y}_{n}}+3+3t \\
& 2-t=-3{{z}_{n}}+3t \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow N\left( \dfrac{8t-5}{3};\dfrac{4t+4}{3};\dfrac{4t-2}{3} \right).$
Do điểm $N\in (P):x+2y-z-1=0\Rightarrow \dfrac{8t-5}{3}+2.\dfrac{4t+4}{3}-\dfrac{4t-2}{3}-1=0\Rightarrow t=-\dfrac{1}{6}.$
$\Rightarrow M\left( \dfrac{-4}{3};\dfrac{5}{6};\dfrac{-1}{6} \right);N\left( \dfrac{-19}{9};\dfrac{10}{9};\dfrac{-8}{9} \right)\Rightarrow \overrightarrow{NM}\left( \dfrac{7}{9};\dfrac{-10}{36};\dfrac{26}{36} \right)=\left( 14;-5;13 \right).$
$\Rightarrow \Delta :\dfrac{x-1}{14}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z-2}{13}.$
Đáp án A.
