Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y+z=5$ ; và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z}{5}$. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất. Khi đó, tọa độ vectơ pháp tuyến của (Q) là
A. $\left( 7;4;-6 \right)$
B. $\left( 44;47;20 \right)$
C. $\left( 44;-47;20 \right)$
D. $\left( 7;4;6 \right)$
Giả sử mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng $d'$.
Gọi $A=d\cap \left( P \right)$, lấy $B\in d$.
Kẻ $BH\bot \left( P \right), BC\bot d'\Rightarrow HC\bot d'\Rightarrow \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\widehat{BCH}=\alpha $
Để ${{\alpha }_{\min }}$ thì $\tan \alpha $ nhỏ nhất
Ta thấy $\tan \alpha =\dfrac{BH}{CH}\ge \dfrac{BH}{AH}\left( CH\le AH \right)$
Mà $\dfrac{BH}{AH}$ không đổi nên $\tan \alpha $ nhỏ nhất khi $~\tan \alpha =\dfrac{BH}{AH} hay \alpha =\widehat{BAH}\left( C\equiv A \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow d\bot d'\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{p}}} \right]=\left( 14;8;-12 \right) \\
& \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{d'}}} \right]=\left( -88;94;-40 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 44;-47;20 \right) \\
\end{aligned}$
A. $\left( 7;4;-6 \right)$
B. $\left( 44;47;20 \right)$
C. $\left( 44;-47;20 \right)$
D. $\left( 7;4;6 \right)$
Giả sử mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng $d'$.
Gọi $A=d\cap \left( P \right)$, lấy $B\in d$.
Kẻ $BH\bot \left( P \right), BC\bot d'\Rightarrow HC\bot d'\Rightarrow \left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\widehat{BCH}=\alpha $
Để ${{\alpha }_{\min }}$ thì $\tan \alpha $ nhỏ nhất
Ta thấy $\tan \alpha =\dfrac{BH}{CH}\ge \dfrac{BH}{AH}\left( CH\le AH \right)$
Mà $\dfrac{BH}{AH}$ không đổi nên $\tan \alpha $ nhỏ nhất khi $~\tan \alpha =\dfrac{BH}{AH} hay \alpha =\widehat{BAH}\left( C\equiv A \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow d\bot d'\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{p}}} \right]=\left( 14;8;-12 \right) \\
& \left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{d'}}} \right]=\left( -88;94;-40 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 44;-47;20 \right) \\
\end{aligned}$
Đáp án C.