Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$...

Mặt cầu có tâm , bán kính .
Ta có: , suy ra không cắt quả cầu .
Vậy khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc mặt cầu xuống mặt phẳng là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua tâm và vuông góc với .
Gọi là phương trình đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng nên có phương trình với .
Ta tìm giao điểm của và . Xét hệ:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
& 9{{t}^{2}}-9=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& x=3 \\
& y=-3 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& x=-1 \\
& y=-1 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. M\left( 3;-3;1 \right) N\left( -1;-1;-3 \right)d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.3-\left( -3 \right)+2.1-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1d\left( N,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -1 \right)-\left( -1 \right)+2\left( -3 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=7H\equiv N\left( -1;-1;-3 \right)a=-1b=-1c=-3A, B, CH\left( Oxy \right) , \left( Oyz \right) , \left( Ozx \right)A\left( -1 ; -1 ; 0 \right), B\left( 0 ; -1 ; -3 \right), C\left( -1 ; 0 ; -3 \right)S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{\sqrt{19}}{2}\in \left( 2 ; 3 \right)$.