Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ : $2x-y+2z-14=0$ và quả cầu $\left( S \right): {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. Tọa độ điểm $H\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là lớn nhất. Gọi $A, B, C$ lần lượt là hình chiếu của $H$ xuống mặt phẳng $\left( Oxy \right) , \left( Oyz \right) , \left( Ozx \right)$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. $S\in \left( 0 ; 1 \right)$.
B. $S\in \left( 1 ; 2 \right)$.
C. $S\in \left( 2 ; 3 \right)$.
D. $S\in \left( 3 ; 4 \right)$.
A. $S\in \left( 0 ; 1 \right)$.
B. $S\in \left( 1 ; 2 \right)$.
C. $S\in \left( 2 ; 3 \right)$.
D. $S\in \left( 3 ; 4 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;-1 \right)$, bán kính $R=3$.
Ta có: $d\left( I,\left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| 2.1-\left( -2 \right)+2.\left( -1 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}$ $=4>R$, suy ra $\left( \alpha \right)$ không cắt quả cầu $\left( S \right)$.
Vậy khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ xuống mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua tâm $I$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$.
Gọi $d$ là phương trình đường thẳng qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $với $ \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Ta tìm giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$. Xét hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
& {{\left( 1+2t \right)}^{2}}+{{\left( -2-t \right)}^{2}}+{{\left( -1+2t \right)}^{2}}-2\left( 1+2t \right)+4\left( -2-t \right)+2\left( -1+2t \right)-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
& 9{{t}^{2}}-9=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& x=3 \\
& y=-3 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& x=-1 \\
& y=-1 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra có hai giao điểm là $ M\left( 3;-3;1 \right) $và $ N\left( -1;-1;-3 \right)$.
Ta có: $d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.3-\left( -3 \right)+2.1-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1$ ; $d\left( N,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -1 \right)-\left( -1 \right)+2\left( -3 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=7$.
Suy ra $H\equiv N\left( -1;-1;-3 \right)$. Từ đó $a=-1$ ; $b=-1$ ; $c=-3$.
Mặt khác, theo giả thiết $A, B, C$ là hình chiếu của $H$ xuống mặt phẳng $\left( Oxy \right) , \left( Oyz \right) , \left( Ozx \right)$.
Suy ra $A\left( -1 ; -1 ; 0 \right), B\left( 0 ; -1 ; -3 \right), C\left( -1 ; 0 ; -3 \right)$.
Vậy $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{\sqrt{19}}{2}\in \left( 2 ; 3 \right)$.
Ta có: $d\left( I,\left( \alpha \right) \right)$ $=\dfrac{\left| 2.1-\left( -2 \right)+2.\left( -1 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}$ $=4>R$, suy ra $\left( \alpha \right)$ không cắt quả cầu $\left( S \right)$.
Vậy khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ xuống mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng qua tâm $I$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$.
Gọi $d$ là phương trình đường thẳng qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên có phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $với $ \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Ta tìm giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$. Xét hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
& {{\left( 1+2t \right)}^{2}}+{{\left( -2-t \right)}^{2}}+{{\left( -1+2t \right)}^{2}}-2\left( 1+2t \right)+4\left( -2-t \right)+2\left( -1+2t \right)-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-2-t \\
& z=-1+2t \\
& 9{{t}^{2}}-9=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& x=3 \\
& y=-3 \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& x=-1 \\
& y=-1 \\
& z=-3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra có hai giao điểm là $ M\left( 3;-3;1 \right) $và $ N\left( -1;-1;-3 \right)$.
Ta có: $d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.3-\left( -3 \right)+2.1-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=1$ ; $d\left( N,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.\left( -1 \right)-\left( -1 \right)+2\left( -3 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=7$.
Suy ra $H\equiv N\left( -1;-1;-3 \right)$. Từ đó $a=-1$ ; $b=-1$ ; $c=-3$.
Mặt khác, theo giả thiết $A, B, C$ là hình chiếu của $H$ xuống mặt phẳng $\left( Oxy \right) , \left( Oyz \right) , \left( Ozx \right)$.
Suy ra $A\left( -1 ; -1 ; 0 \right), B\left( 0 ; -1 ; -3 \right), C\left( -1 ; 0 ; -3 \right)$.
Vậy $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{\sqrt{19}}{2}\in \left( 2 ; 3 \right)$.
Đáp án C.