Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-4y-2z-11=0$ và điểm $M(0;-2;1)$. Gọi ${{d}_{1}},{{d}_{2}},{{d}_{3}}$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm $M(0;-2;1)$ và lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại điểm thứ hai là $A,B,C$. Thể tích của tứ diện $MABC$ đạt giá trị lớn nhất bằng
A. $\dfrac{50\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{1000\sqrt{3}}{27}$.
C. $\dfrac{100\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{500\sqrt{3}}{27}$.
A. $\dfrac{50\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{1000\sqrt{3}}{27}$.
C. $\dfrac{100\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{500\sqrt{3}}{27}$.
Mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-4y-2z-11=0$ có tâm $(3;2;1)$ bán kính $R=5$
Mặt phẳng chứa ba điểm $A,B,C$ cắt mặt cầu $(S)$ ta được một hình tròn tâm I.
Thể tích của tứ diện $MABC$ đạt giá trị lớn nhất khi thể tích hình nón đỉnh $M$ có đáy là hình tròn tâm I lớn nhất.
Gọi $h,r$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy hình nón
Ta có: $R=\dfrac{{{l}^{2}}}{2h}\Rightarrow S=\dfrac{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{2h}\Rightarrow 10h={{r}^{2}}+{{h}^{2}}\Rightarrow r=\sqrt{10h-{{h}^{2}}}$
Thể tích hình nón là:
$\begin{aligned}
& V=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .(10h-{{h}^{2}}).h \\
& V'=\dfrac{1}{3}\pi .(20h-3{{h}^{2}})=0\Rightarrow h=\dfrac{20}{3}\Rightarrow r=\dfrac{10\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned}$
Xét đường tròn đi qua 3 điểm $A,B,C$ :
Diện tích tam giác ABC lớn nhất khi tam giác ABC đều
${{S}_{ABC}}=\dfrac{50}{\sqrt{3}}\Rightarrow Max{{V}_{MABC}}=\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1000\sqrt{3}}{27}$.
Mặt phẳng chứa ba điểm $A,B,C$ cắt mặt cầu $(S)$ ta được một hình tròn tâm I.
Thể tích của tứ diện $MABC$ đạt giá trị lớn nhất khi thể tích hình nón đỉnh $M$ có đáy là hình tròn tâm I lớn nhất.
Gọi $h,r$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy hình nón
Ta có: $R=\dfrac{{{l}^{2}}}{2h}\Rightarrow S=\dfrac{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{2h}\Rightarrow 10h={{r}^{2}}+{{h}^{2}}\Rightarrow r=\sqrt{10h-{{h}^{2}}}$
Thể tích hình nón là:
$\begin{aligned}
& V=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .(10h-{{h}^{2}}).h \\
& V'=\dfrac{1}{3}\pi .(20h-3{{h}^{2}})=0\Rightarrow h=\dfrac{20}{3}\Rightarrow r=\dfrac{10\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned}$
Xét đường tròn đi qua 3 điểm $A,B,C$ :
Diện tích tam giác ABC lớn nhất khi tam giác ABC đều
${{S}_{ABC}}=\dfrac{50}{\sqrt{3}}\Rightarrow Max{{V}_{MABC}}=\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1000\sqrt{3}}{27}$.
Đáp án B.
