Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu...

Mặt cầu (S) có tâm bán kính . Ta có mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy). Để có tiếp tuyến của (S) đi qua A (1).
Có .
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Ta có mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy).
Vì theo đề .
* Xét trường hợp , ta có . Lúc này các tiếp tuyến của (S) thuộc thiết diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.
Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của (a;b) là

* Xét trường hợp A ở ngoài (S). Khi đó, các tiếp tuyến của S đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng . Gỉa sử góc ở đỉnh mặt nón là , ta có M, A, N, I đồng phẳng nên:

suy ra

Điều kiện phải tìm là . Vì a,b là các số nguyên nên
hoặc hoặc hoặc hoặc
Hai hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A thỏa mãn là
. Tóm lại có 20 bộ số nguyên cần tìm.