Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu...

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 0;0;-1 \right)$ bán kính $R=\sqrt{5}$. Ta có ${{d}_{\left( I\left( Oxy \right) \right)}}=1<R\Rightarrow $ mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy). Để có tiếp tuyến của (S) đi qua A $\Leftrightarrow AI\ge R$ (1).
Có $A\left( a,b,c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a,b,0 \right),IA=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}$.
Mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=5$ có tâm $I\left( 0;0;-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
Ta có ${{d}_{\left( I\left( Oxy \right) \right)}}=1<R\Rightarrow $ mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy).
Vì theo đề $A\left( a,b,c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a,b,0 \right)$.
* Xét trường hợp $A\in (S)$, ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$. Lúc này các tiếp tuyến của (S) thuộc thiết diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau.
Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị của (a;b) là $\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$

* Xét trường hợp A ở ngoài (S). Khi đó, các tiếp tuyến của S đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng $90{}^\circ $. Gỉa sử góc ở đỉnh mặt nón là $\angle MAN$, ta có M, A, N, I đồng phẳng nên:
$\angle MAN\ge 90{}^\circ \Leftrightarrow \angle MAI=45{}^\circ $
suy ra $\sin \angle MAI\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{5}}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow IA\le \sqrt{10}$
Điều kiện phải tìm là $\left\{ \begin{aligned}
& IA>R \\
& IA\le \sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 9 \\
\end{aligned} \right.$. Vì a,b là các số nguyên nên
$\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=0 \\
& {{b}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=9 \\
& {{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=1 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=4 \\
& {{b}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=4 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$
Hai hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm A thỏa mãn là
$2.2+3.4=16$. Tóm lại có 20 bộ số nguyên cần tìm.