Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}=9$ và điểm $A(2 ; 3 ;-1)$. Xét các điểm $M$ thuộc $(S)$ sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với $(S)$. $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
A. $6 x+8 y+11=0$.
B. $3 x+4 y+2=0$.
C. $3 x+4 y-2=0$.
D. $6 x+8 y-11=0$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(-1 ;-1 ;-1)$, bán kính $R=3$.
Ta có: $\overrightarrow{I A}=(3 ; 4 ; 0) \Rightarrow I A=5$.
Vì AM là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có: $A M \perp I M \Rightarrow A M=\sqrt{I A^{2}-I M^{2}}=4$.
Gọi $\left(S^{\prime}\right)$ là mặt cầu tâm $A$, bán kính $R^{\prime}=4$.
Ta có phương trình mặt cầu $\left(S^{\prime}\right):(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}=16$
Vì $A M=4$ nên điểm $M$ luôn thuộc mặt cầu $(S)$
Vậy $M \in(S) \cap\left(S^{\prime}\right) \Rightarrow$ tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=9(1) \\
{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=16(2) \\
\end{array}\overset{(1)-(2)}{\mathop{\to }} 6x+8y-11=-7\text{ hay }M\in (P):3x \right.+4y-2=0$.
A. $6 x+8 y+11=0$.
B. $3 x+4 y+2=0$.
C. $3 x+4 y-2=0$.
D. $6 x+8 y-11=0$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(-1 ;-1 ;-1)$, bán kính $R=3$.
Ta có: $\overrightarrow{I A}=(3 ; 4 ; 0) \Rightarrow I A=5$.
Vì AM là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có: $A M \perp I M \Rightarrow A M=\sqrt{I A^{2}-I M^{2}}=4$.
Gọi $\left(S^{\prime}\right)$ là mặt cầu tâm $A$, bán kính $R^{\prime}=4$.
Ta có phương trình mặt cầu $\left(S^{\prime}\right):(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}=16$
Vì $A M=4$ nên điểm $M$ luôn thuộc mặt cầu $(S)$
Vậy $M \in(S) \cap\left(S^{\prime}\right) \Rightarrow$ tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=9(1) \\
{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=16(2) \\
\end{array}\overset{(1)-(2)}{\mathop{\to }} 6x+8y-11=-7\text{ hay }M\in (P):3x \right.+4y-2=0$.
Đáp án C.