Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 5;-2;-1 \right)$. Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A. 256.
B. 128.
C. $\dfrac{256}{3}.$
D. $\dfrac{128}{3}.$
Bán kính mặt cầu là $R=IA=4\sqrt{3}.$ AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau nên $R=\dfrac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}$. Suy ra $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}=4{{R}^{2}}.$ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow 4{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow AB.AC.AD\le \dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{R}^{3}}=512$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD\le \dfrac{256}{3}.$
Vậy Max ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{256}{3}.$
Đạt được khi $AB=AC=AD=8.$
A. 256.
B. 128.
C. $\dfrac{256}{3}.$
D. $\dfrac{128}{3}.$
Bán kính mặt cầu là $R=IA=4\sqrt{3}.$ AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau nên $R=\dfrac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}$. Suy ra $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}=4{{R}^{2}}.$ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow 4{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}$
$\Rightarrow AB.AC.AD\le \dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{R}^{3}}=512$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD\le \dfrac{256}{3}.$
Vậy Max ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{256}{3}.$
Đạt được khi $AB=AC=AD=8.$
Đáp án C.