Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A\left( 5;3;-2 \right)$. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M, N. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$.
A. ${{S}_{\min }}=30.$
B. ${{S}_{\min }}=20.$
C. ${{S}_{\min }}=\sqrt{34}-3.$
D. ${{S}_{\min }}=5\sqrt{34}-9.$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2;-1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}-\left( -3 \right)}=3$
Ta có: $AI=\sqrt{{{\left( 2-5 \right)}^{2}}+{{\left( -1-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{34}>R$ nên A nằm ngoài mặt cầu (S).
Ta lại có: $S=AM+4AN$
Đặt $AM=x$ với $x\in \left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]$.
Mà $AM.AN=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}=34-9=25$ suy ra $AN=\dfrac{25}{AM}$
Do đó: $S=f\left( x \right)=x+\dfrac{100}{x}$ với $x\in \left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]$.
${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{100}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-100}{{{x}^{2}}}<0,\forall x\in \left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]$
Do đó: $\underset{\left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]}{\mathop{min}} f\left( x \right)=f\left( \sqrt{34}+3 \right)=5\sqrt{34}-9$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow A,M,N,I$ thẳng hàng và $AM=\sqrt{34}+3;AN=\sqrt{34}-3$.
A. ${{S}_{\min }}=30.$
B. ${{S}_{\min }}=20.$
C. ${{S}_{\min }}=\sqrt{34}-3.$
D. ${{S}_{\min }}=5\sqrt{34}-9.$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2;-1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}-\left( -3 \right)}=3$
Ta có: $AI=\sqrt{{{\left( 2-5 \right)}^{2}}+{{\left( -1-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{34}>R$ nên A nằm ngoài mặt cầu (S).
Ta lại có: $S=AM+4AN$
Đặt $AM=x$ với $x\in \left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]$.
Mà $AM.AN=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}=34-9=25$ suy ra $AN=\dfrac{25}{AM}$
Do đó: $S=f\left( x \right)=x+\dfrac{100}{x}$ với $x\in \left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]$.
${f}'\left( x \right)=1-\dfrac{100}{{{x}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-100}{{{x}^{2}}}<0,\forall x\in \left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]$
Do đó: $\underset{\left[ \sqrt{34}-3;\sqrt{34}+3 \right]}{\mathop{min}} f\left( x \right)=f\left( \sqrt{34}+3 \right)=5\sqrt{34}-9$.
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow A,M,N,I$ thẳng hàng và $AM=\sqrt{34}+3;AN=\sqrt{34}-3$.
Đáp án D.