Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=25$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{9}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-5}{4}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc tia $Oy$, với tung độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $\left( S \right)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$ ?
A. $40$.
B. $46$.
C. $44$.
D. $84$.
A. $40$.
B. $46$.
C. $44$.
D. $84$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có $I\left( 1; 2; -2 \right)$, bán kính $R=5$.
Vì $M\in Oy$ nên $M\left( 0; m; 0 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$ $\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $9x+y+4z-m=0$.
Khi đó $\left( P \right)$ chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ $M$ và cùng vuông góc với $d$
Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn bài toán điều kiện là
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& d\left( I, \left( P \right) \right)<R \\
& IM>R \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\left| 3-m \right|}{7\sqrt{2}}<5 \\
& \sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}>5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 3-m \right|<35\sqrt{2} \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}>20 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -35\sqrt{2}+3<m<35\sqrt{2}+3 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2+2\sqrt{5} \\
& m<2-2\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2+2\sqrt{5}<m<35\sqrt{2}+3 \\
& -35\sqrt{2}+3<m<2-2\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 7; 8; ....;46 \right\}$. Vậy có $40$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
Vì $M\in Oy$ nên $M\left( 0; m; 0 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$ $\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $9x+y+4z-m=0$.
Khi đó $\left( P \right)$ chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ $M$ và cùng vuông góc với $d$
Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn bài toán điều kiện là
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& d\left( I, \left( P \right) \right)<R \\
& IM>R \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\left| 3-m \right|}{7\sqrt{2}}<5 \\
& \sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}+5}>5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| 3-m \right|<35\sqrt{2} \\
& {{\left( m-2 \right)}^{2}}>20 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -35\sqrt{2}+3<m<35\sqrt{2}+3 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2+2\sqrt{5} \\
& m<2-2\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2+2\sqrt{5}<m<35\sqrt{2}+3 \\
& -35\sqrt{2}+3<m<2-2\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 7; 8; ....;46 \right\}$. Vậy có $40$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.
