Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):2x-y+2z-10=0 $. Từ điểm $ M\in d $ kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt đến $ \left( S \right) $ và hai tiếp tuyến song song với $ \left( P \right) $. Tìm số điểm $ M$ có hoành độ nguyên.
A. $0$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $7$.
& x=t \\
& y=2-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):2x-y+2z-10=0 $. Từ điểm $ M\in d $ kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt đến $ \left( S \right) $ và hai tiếp tuyến song song với $ \left( P \right) $. Tìm số điểm $ M$ có hoành độ nguyên.
A. $0$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $7$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0; 0; 0 \right)$, bán kính $R=5$.
Theo bài ra ta có, hai tiếp tuyến phân biệt của $\left( S \right)$ qua $M$ nằm trên mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( O, \left( Q \right) \right)<R \\
& OM>R \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+2z+D=0 \left( D\ne -10 \right)$ và $d\left( O, \left( Q \right) \right)<R\Leftrightarrow \dfrac{\left| D \right|}{3}<5\Leftrightarrow \left| D \right|<15$.
$M\left( t ; 2-t ; 1+t \right)\in \left( Q \right)\Leftrightarrow 2t-2+t+2+2t+D=0\Leftrightarrow D=-5t \left( t\ne 2 \right)\Rightarrow \left| 5t \right|<15\Leftrightarrow -3<t<3\left( 1 \right)$
$OM>R\Leftrightarrow {{t}^{2}}+{{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{\left( 1+t \right)}^{2}}>25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t>\dfrac{1+\sqrt{61}}{3} \\
& t<\dfrac{1-\sqrt{61}}{3} \\
\end{aligned} \right. \left( 2 \right)$
Kết hợp $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ thì không có $t$ nguyên thoả mãn.
Theo bài ra ta có, hai tiếp tuyến phân biệt của $\left( S \right)$ qua $M$ nằm trên mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với $\left( P \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( O, \left( Q \right) \right)<R \\
& OM>R \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+2z+D=0 \left( D\ne -10 \right)$ và $d\left( O, \left( Q \right) \right)<R\Leftrightarrow \dfrac{\left| D \right|}{3}<5\Leftrightarrow \left| D \right|<15$.
$M\left( t ; 2-t ; 1+t \right)\in \left( Q \right)\Leftrightarrow 2t-2+t+2+2t+D=0\Leftrightarrow D=-5t \left( t\ne 2 \right)\Rightarrow \left| 5t \right|<15\Leftrightarrow -3<t<3\left( 1 \right)$
$OM>R\Leftrightarrow {{t}^{2}}+{{\left( 2-t \right)}^{2}}+{{\left( 1+t \right)}^{2}}>25\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t>\dfrac{1+\sqrt{61}}{3} \\
& t<\dfrac{1-\sqrt{61}}{3} \\
\end{aligned} \right. \left( 2 \right)$
Kết hợp $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ thì không có $t$ nguyên thoả mãn.
Đáp án A.