Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-\sqrt{2} \right)}^{2}}=3$ có tâm $I\left( 0; 0; \sqrt{2} \right)$, bán kính $R=\sqrt{3}$. Vì $A\left( a; b; c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a; b; 0 \right)$. Ta có ${{d}_{\left( I\left( Oxy \right) \right)}}=\sqrt{2}<R$ => mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy).
* Xét trường hợp $A\in \left( S \right)$, ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$. Lúc này các tiếp tuyến của (S) thuộc tiếp diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau. Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị cảu $\left( a; b \right)$ là
$\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.; \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.$
* Xét trường hợp A ở ngoài (S). Khi, các tiếp tuyến của (S) đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng $90{}^\circ $. Giả sử góc ở đỉnh mặt nón là $\widehat{MAN}$, ta có M, A, N, I đồng phẳng nên:
$\widehat{MAN}\ge 90{}^\circ \Leftrightarrow \widehat{MAI}\ge 45{}^\circ $ suy ra $\sin \widehat{MAI}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow IA\le \sqrt{6}$
Điều kiện phải tìm là $\left\{ \begin{aligned}
& IA>R \\
& IA\le \sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4 \\
\end{aligned} \right. $. Vì a, b là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm $ \left( a; b \right) $ là $ \left( 0; 2 \right), \left( 0; -2 \right), \left( 2; 0 \right), \left( -2; 0 \right), \left( 1; 1 \right), \left( -1; -1 \right), \left( -1; 1 \right), \left( 1; -1 \right)$.
Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu.