Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

Mặt cầu có tâm , bán kính . Vì . Ta có => mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy).
* Xét trường hợp , ta có . Lúc này các tiếp tuyến của (S) thuộc tiếp diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau. Trường hợp này ta có 4 cặp giá trị cảu là

* Xét trường hợp A ở ngoài (S). Khi, các tiếp tuyến của (S) đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng . Giả sử góc ở đỉnh mặt nón là , ta có M, A, N, I đồng phẳng nên:
suy ra

Điều kiện phải tìm là . Vì a, b là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm là .
Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu.