Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+\sqrt{2} \right)}^{2}}=3.$ Có tất cả bao nhiêu điểm $A\left( a;b;c \right)$ (a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12.
B. 8.
C. 16.
D. 4.
A. 12.
B. 8.
C. 16.
D. 4.
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+\sqrt{2} \right)}^{2}}=3$ có tâm $I\left( 0;0;-\sqrt{2} \right),$ bán kính $R=\sqrt{3}.$ Ta có ${{d}_{\left( I,\left( Oxy \right) \right)}}=\sqrt{2}<R\Rightarrow $ mặt cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( Oxy \right).$ Vì theo đề $A\left( a;b;c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow A\left( a;b;0 \right).$
* Xét trường hợp $A\in \left( S \right),$ ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1.$ Lúc này các tiếp tuyến của $\left( S \right)$ thuộc tiếp diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau. Trường hợp này tâ có 4 cặp giá trị của $\left( a;b \right)$ là
$\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right..$
*Xét trường hợp A ở ngoài $\left( S \right).$ Khi đó, các tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để cso ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng $90{}^\circ .$ Giả sử góc ở đỉnh mặt nón là $\widehat{MAN}$ ta có M, A, N, I đồng phẳng nên: $\widehat{MAN}\ge 90{}^\circ \Leftrightarrow \widehat{MAI}\ge 45{}^\circ $
Suy ra $\sin \widehat{MAI}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow IA\le \sqrt{6}.$
Điều kiện phải tìm là $\left\{ \begin{aligned}
& IA>R \\
& IA\le \sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4 \\
\end{aligned} \right..$
Vì a, b là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm $\left( a;b \right)$ là $\left( 0;2 \right),\left( 0;-2 \right),\left( 2;0 \right),\left( -2;0 \right),$ $\left( 1;1 \right),\left( -1;-1 \right),\left( -1;1 \right),\left( 1;-1 \right).$ Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu.
* Xét trường hợp $A\in \left( S \right),$ ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1.$ Lúc này các tiếp tuyến của $\left( S \right)$ thuộc tiếp diện của (S) tại A nên có vô số các tiếp tuyến vuông góc nhau. Trường hợp này tâ có 4 cặp giá trị của $\left( a;b \right)$ là
$\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=1 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right.;\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right..$
*Xét trường hợp A ở ngoài $\left( S \right).$ Khi đó, các tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua A thuộc mặt nón đỉnh A. Nên các tiếp tuyến này chỉ có thể vuông góc với nhau tại A. Điều kiện để cso ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc là góc ở đỉnh của mặt nón lớn hơn hoặc bằng $90{}^\circ .$ Giả sử góc ở đỉnh mặt nón là $\widehat{MAN}$ ta có M, A, N, I đồng phẳng nên: $\widehat{MAN}\ge 90{}^\circ \Leftrightarrow \widehat{MAI}\ge 45{}^\circ $
Suy ra $\sin \widehat{MAI}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{IA}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow IA\le \sqrt{6}.$
Điều kiện phải tìm là $\left\{ \begin{aligned}
& IA>R \\
& IA\le \sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4 \\
\end{aligned} \right..$
Vì a, b là các số nguyên nên ta có các cặp nghiệm $\left( a;b \right)$ là $\left( 0;2 \right),\left( 0;-2 \right),\left( 2;0 \right),\left( -2;0 \right),$ $\left( 1;1 \right),\left( -1;-1 \right),\left( -1;1 \right),\left( 1;-1 \right).$ Vậy có 12 điểm A thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án A.