Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}.$ Điểm $M\left( a;b;c \right)$ (với $a<0)$ trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA, MB, MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ ( $A, B, C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn các góc $\widehat{AMB}={{60}^{0}},$ $\widehat{BMC}={{90}^{0}},$ $\widehat{CMA}={{120}^{0}}.$ Tính $abc$ bằng
A. 4.
B. $\dfrac{10}{3}$
C. $-2$
D. 2.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$
Đặt $MA=MB=MC=a\Rightarrow \Delta MAB$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow AB=a, \Delta MBC$ vuông cân tại $M\Rightarrow BC=a\sqrt{2}$.
Tam giác $MCA$ có $\widehat{CMA}={{120}^{0}}$ $\Rightarrow AC=\sqrt{M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MA.MC\cos {{120}^{0}}}=a\sqrt{3}$
Khi đó tam giác $ABC$ có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B.$
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn nhỏ tâm $H$ đường kính $AC\Rightarrow M, A, I, C$ đồng phẳng và $AC\bot IM$ tại $H.$
Ta có: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{27}$
$\Rightarrow a=3=MA\Rightarrow I{{M}^{2}}=M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}=36$
Gọi $M\left( -1+t;-2+t;1+t \right)\in d\Rightarrow I{{M}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( t+4 \right)}^{2}}=36$
$\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& M\left( -1;-2;1 \right) \\
& M\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-2.$
A. 4.
B. $\dfrac{10}{3}$
C. $-2$
D. 2.
Đặt $MA=MB=MC=a\Rightarrow \Delta MAB$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow AB=a, \Delta MBC$ vuông cân tại $M\Rightarrow BC=a\sqrt{2}$.
Tam giác $MCA$ có $\widehat{CMA}={{120}^{0}}$ $\Rightarrow AC=\sqrt{M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}-2MA.MC\cos {{120}^{0}}}=a\sqrt{3}$
Khi đó tam giác $ABC$ có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B.$
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn nhỏ tâm $H$ đường kính $AC\Rightarrow M, A, I, C$ đồng phẳng và $AC\bot IM$ tại $H.$
Ta có: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{27}$
$\Rightarrow a=3=MA\Rightarrow I{{M}^{2}}=M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}=36$
Gọi $M\left( -1+t;-2+t;1+t \right)\in d\Rightarrow I{{M}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( t+4 \right)}^{2}}=36$
$\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& M\left( -1;-2;1 \right) \\
& M\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-2.$
Đáp án C.