Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=25$ và điểm $M(3;5;1)$. Các điểm $A,B,C$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $MA,MB,MC$ đôi một vuông góc với nhau. Mặt phẳng $(ABC)$ luôn đi qua một điểm cố định $H(a;b;c)$. Giá trị của biểu thức $T=6a+b+5c$ bằng
A. $10.$
B. $\dfrac{29}{2}.$
C. $\dfrac{13}{3}.$
D. $6.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$
Dễ thấy điểm $M$ nằm trên mặt cầu. Dựng hình hộp chữ nhật $MBDC.AB'D'C'$
$\Rightarrow $ $I$ là tâm của hình hộp chữ nhật. Gọi $O$ là tâm $MBDC$
Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $MI$ trong mặt phẳng $\left( MAD'D \right)$
$\Rightarrow $ $H\in AO$ $\Rightarrow $ $A$ $\in $ $(ABC)$
Xét $\Delta AMD$ $\Rightarrow $ $MI$ là trung tuyến ứng với $AD$
$AO$ là trung tuyến ứng với $MD$
$\Rightarrow $ $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta AMD$
$\Rightarrow $ $HM$ $=$ $\dfrac{2}{3}MI$. Mà $MI$ không đổi $\Rightarrow $ $H$ cố định
Gọi $H\left( a;b;c \right)$. Ta có: $\overrightarrow{MI}\left( -4;-3;0 \right)$ $\overrightarrow{MH}\left( a-3;b-5;c-1 \right)$
Lại có: $\overrightarrow{MH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MI}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-3=\dfrac{2}{3}.(-4) \\
& b-5=\dfrac{2}{3}.(-3) \\
& c-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3} \\
& b=3 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow T=6a+b+5c=10$.
A. $10.$
B. $\dfrac{29}{2}.$
C. $\dfrac{13}{3}.$
D. $6.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$
Dễ thấy điểm $M$ nằm trên mặt cầu. Dựng hình hộp chữ nhật $MBDC.AB'D'C'$
$\Rightarrow $ $I$ là tâm của hình hộp chữ nhật. Gọi $O$ là tâm $MBDC$
Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $MI$ trong mặt phẳng $\left( MAD'D \right)$
$\Rightarrow $ $H\in AO$ $\Rightarrow $ $A$ $\in $ $(ABC)$
Xét $\Delta AMD$ $\Rightarrow $ $MI$ là trung tuyến ứng với $AD$
$AO$ là trung tuyến ứng với $MD$
$\Rightarrow $ $H$ là trọng tâm tam giác $\Delta AMD$
$\Rightarrow $ $HM$ $=$ $\dfrac{2}{3}MI$. Mà $MI$ không đổi $\Rightarrow $ $H$ cố định
Gọi $H\left( a;b;c \right)$. Ta có: $\overrightarrow{MI}\left( -4;-3;0 \right)$ $\overrightarrow{MH}\left( a-3;b-5;c-1 \right)$
Lại có: $\overrightarrow{MH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MI}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-3=\dfrac{2}{3}.(-4) \\
& b-5=\dfrac{2}{3}.(-3) \\
& c-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3} \\
& b=3 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow T=6a+b+5c=10$.
Đáp án A.