Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và điểm $M\left( 2;3;1 \right)$. Từ $M$ kẻ được vô số các tiếp tuyến tới $\left( S \right)$, biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn $\left( C \right)$. Tính bán kính $r$ của đường tròn $\left( C \right)$.
A. $r=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
B. $r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
C. $r=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
D. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
A. $r=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
B. $r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
C. $r=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
D. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;0 \right)$ và bán kính $R=2.$
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 1;2;1 \right)\Rightarrow IM=\sqrt{6}.$
Gọi $H$ là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ $M$ đến mặt cầu.
Kẻ $HO\bot IM\left( O\in IM \right),$ ta có $IO.IM=H{{I}^{2}}\Rightarrow IO.\sqrt{6}=4\Rightarrow IO=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.$
Mà $I,M$ cố định $\Rightarrow O$ cố định.
Ta có $MH=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{1}{H{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\Rightarrow OH=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Vậy $\left( C \right)$ là đường tròn tâm $O$ có bán kính $r=OH=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Gọi $H$ là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ $M$ đến mặt cầu.
Kẻ $HO\bot IM\left( O\in IM \right),$ ta có $IO.IM=H{{I}^{2}}\Rightarrow IO.\sqrt{6}=4\Rightarrow IO=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.$
Mà $I,M$ cố định $\Rightarrow O$ cố định.
Ta có $MH=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{1}{H{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\Rightarrow OH=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Vậy $\left( C \right)$ là đường tròn tâm $O$ có bán kính $r=OH=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án A.