Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ tâm $I$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+24=0$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $\left( P \right)$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho đoạn $MH$ có độ dài lớn nhất. Tính $a+b+c.$
A. $-8.$
B. 2.
C. $-5.$
D. 9.
A. $-8.$
B. 2.
C. $-5.$
D. 9.
Phương trình đường thẳng $IH:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{-1}\Rightarrow H=IH\cap \left( P \right)=\left( -5;-4;6 \right)$
Độ dài $MH$ lớn nhất $\Rightarrow M$ là một trong hai giao điểm của $MI$ và $\left( S \right)$
Suy ra $MI\equiv MH$, gọi $M\left( 1+2t;2+2t;3-t \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$
Do đó $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{M}_{1}}\left( 3;4;2 \right)\Rightarrow {{M}_{2}}H=12 \\
{{M}_{2}}\left( -1;0;4 \right)\Rightarrow {{M}_{2}}H=\sqrt{34} \\
\end{array} \right.\Rightarrow M{{H}_{\max }}\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{2}}=\left( 3;4;2 \right).$
Độ dài $MH$ lớn nhất $\Rightarrow M$ là một trong hai giao điểm của $MI$ và $\left( S \right)$
Suy ra $MI\equiv MH$, gọi $M\left( 1+2t;2+2t;3-t \right)\in \left( S \right)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}=9\Leftrightarrow t=\pm 1$
Do đó $\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{M}_{1}}\left( 3;4;2 \right)\Rightarrow {{M}_{2}}H=12 \\
{{M}_{2}}\left( -1;0;4 \right)\Rightarrow {{M}_{2}}H=\sqrt{34} \\
\end{array} \right.\Rightarrow M{{H}_{\max }}\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{2}}=\left( 3;4;2 \right).$
Đáp án D.