Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right) & :{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=6$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( P \right) & :x+y+2\text{z}+5=0$, $\left( & & & Q & & \right) & :2x-y+z-5=0$ lần lượt tại các tiếp điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB là
A. $2\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{6}$
D. $3\sqrt{2}$
Xét $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$
Gọi M là giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ sao cho tứ giác MAIB đồng phẳng
Ta có $\cos \widehat{AMB}=\widehat{\left( P \right); \left( Q \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|}=\dfrac{1}{2}$
Suy ra $\widehat{AMB}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{AIB}=180{}^\circ -\widehat{AMB}=120{}^\circ $
Tam giác IAB cân tại I, có
$AB=\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2IA.IB.\cos \widehat{AIB}}=3\sqrt{2}$
A. $2\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{6}$
D. $3\sqrt{2}$
Xét $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=6$
Gọi M là giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ sao cho tứ giác MAIB đồng phẳng
Ta có $\cos \widehat{AMB}=\widehat{\left( P \right); \left( Q \right)}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|}=\dfrac{1}{2}$
Suy ra $\widehat{AMB}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{AIB}=180{}^\circ -\widehat{AMB}=120{}^\circ $
Tam giác IAB cân tại I, có
$AB=\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2IA.IB.\cos \widehat{AIB}}=3\sqrt{2}$
Đáp án D.