Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$. Từ gốc toạ độ $O$ kẻ tiếp tuyến $OM$ bất kì ( $M$ là tiếp điểm) với mặt cầu $\left( S \right)$. Khi đó điểm $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình nào sau đây?
A. $4x-3z+9=0$.
B. $-4x+3z+9=0$.
C. $4x-3z+6=0$.
D. $4x-3z+15=0$.
A. $4x-3z+9=0$.
B. $-4x+3z+9=0$.
C. $4x-3z+6=0$.
D. $4x-3z+15=0$.
Ta có: Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( -4;0;3 \right)$, bán kính $R=4$.
Ta có: $\overrightarrow{OI}=\left( -4;0;3 \right)\Rightarrow OI=5$.
Vì $OM$ là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có: $OM\bot IM\Rightarrow OM=\sqrt{O{{I}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\sqrt{O{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=3$.
Suy ra M luôn thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm là gốc toạ độ $O$, bán kính ${R}'=3$.
Ta có phương trình mặt cầu $\left( {{S}'} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$
Vậy $M\in \left( S \right)\cap \left( {{S}'} \right)\Rightarrow $ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\ \ \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Trừ vế theo vế (1) và (2) ta có pt $ 4x-3z+9=0$.
Ta có: $\overrightarrow{OI}=\left( -4;0;3 \right)\Rightarrow OI=5$.
Vì $OM$ là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có: $OM\bot IM\Rightarrow OM=\sqrt{O{{I}^{2}}-I{{M}^{2}}}=\sqrt{O{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=3$.
Suy ra M luôn thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm là gốc toạ độ $O$, bán kính ${R}'=3$.
Ta có phương trình mặt cầu $\left( {{S}'} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9$
Vậy $M\in \left( S \right)\cap \left( {{S}'} \right)\Rightarrow $ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\ \ \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $. Trừ vế theo vế (1) và (2) ta có pt $ 4x-3z+9=0$.
Đáp án A.