Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}=24$ và điểm $A\left( -2;0;-2 \right)$. Từ A kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc đường tròn $\left( \omega \right)$. Từ điểm M di động nằm ngoài (S) và nằm trong mặt phẳng chứa $\left( \omega \right)$ kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc đường tròn $\left( {{\omega }'} \right)$. Biết rằng khi hai đường tròn $\left( \omega \right)$, $\left( {{\omega }'} \right)$ có cùng bán kính thì M luôn thuộc đường tròn cố định. Tìm bán kính r của đường tròn đó
A. $6\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{10}$
C. $3\sqrt{5}$
D. $3\sqrt{2}$
A. $6\sqrt{2}$
B. $3\sqrt{10}$
C. $3\sqrt{5}$
D. $3\sqrt{2}$
Hình vẽ tham khảo
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2;4;6 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{6}$ và $IA=4\sqrt{6}$
Ta có $\left( \omega \right)$ và $\left( {{\omega }'} \right)$ có bán kính bằng nhau $\Leftrightarrow IM=IA=4\sqrt{6}$
Suy ra M nằm trên mặt cầu tâm I, bán kính ${R}'=4\sqrt{6}$. Kí hiệu là $\left( {{S}'} \right)$
Hay tập hợp điểm M là giao điểm của mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ và mặt phẳng chứa $\left( \omega \right)$
Gọi H là tâm đường tròn $\left( \omega \right)\Rightarrow MH$ là bán kính đường tròn cố định chứa M
Lại có $IH=\dfrac{{{R}^{2}}}{IA}=\dfrac{24}{4\sqrt{6}}=\sqrt{6}\Rightarrow r=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{96-6}=3\sqrt{10}$.
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 2;4;6 \right)$, bán kính $R=2\sqrt{6}$ và $IA=4\sqrt{6}$
Ta có $\left( \omega \right)$ và $\left( {{\omega }'} \right)$ có bán kính bằng nhau $\Leftrightarrow IM=IA=4\sqrt{6}$
Suy ra M nằm trên mặt cầu tâm I, bán kính ${R}'=4\sqrt{6}$. Kí hiệu là $\left( {{S}'} \right)$
Hay tập hợp điểm M là giao điểm của mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ và mặt phẳng chứa $\left( \omega \right)$
Gọi H là tâm đường tròn $\left( \omega \right)\Rightarrow MH$ là bán kính đường tròn cố định chứa M
Lại có $IH=\dfrac{{{R}^{2}}}{IA}=\dfrac{24}{4\sqrt{6}}=\sqrt{6}\Rightarrow r=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{96-6}=3\sqrt{10}$.
Đáp án B.