Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=27$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A\left( 0;0;-4 \right),B\left( 2;0;0 \right)$ và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). Xét các khối nón có đỉnh là tâm của (S) và đáy là (C). Biết rằng khi thể tích của khối nón lớn nhất thì mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình dạng $ax+by-z+d=0$. Tính $P=a-b-d.$
A. $P=-4.$
B. $P=8.$
C. $P=0.$
D. $P=4.$
A. $P=-4.$
B. $P=8.$
C. $P=0.$
D. $P=4.$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Vì $\left( \alpha \right)$ đi qua 2 điểm $A\left( 0;0;-4 \right)$, $B\left( 2;0;0 \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a.0+b.0+4+d=0 \\
& a.2+b.0-0+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=-4 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.
Khi đó thể tích của khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Ta có $h=d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{27-{{r}^{2}}}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{27-{{r}^{2}}}$.
Đặt $t=\sqrt{27-{{r}^{2}}}\Rightarrow {{r}^{2}}=27-{{t}^{2}}$, điều kiện: $0<t<3\sqrt{3}$
Khi đó $V=\dfrac{1}{3}\pi \left( 27-{{t}^{2}} \right)t,\left( 0<t<3\sqrt{3} \right)$
Ta có ${V}'=\dfrac{1}{3}\pi \left( 27-3{{t}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3\left( n \right) \\
& t=-3\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Thể tích khối nón lớn nhất khi $t=3\Rightarrow {{r}^{2}}=18\Rightarrow h=3$.
Mặt khác $h=d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| a-2b-3+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}=3$ mà
$\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& d=-4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| -2b-5 \right|=3\sqrt{5+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}-4b+4=0\Leftrightarrow b=2$
Vậy $P=a-b-d=2-2+4=4$.
Note 40: Phương pháp chung
Đối với những bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích thông thường ta xử lý như sau
Bước 1: Xác định đối tượng thay đổi của bài toán, viết biểu thức tính thể tích theo biến thay đổi.
Bước 2: Khảo sát và tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Vì $\left( \alpha \right)$ đi qua 2 điểm $A\left( 0;0;-4 \right)$, $B\left( 2;0;0 \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a.0+b.0+4+d=0 \\
& a.2+b.0-0+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& d=-4 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.
Khi đó thể tích của khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Ta có $h=d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{27-{{r}^{2}}}\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{27-{{r}^{2}}}$.
Đặt $t=\sqrt{27-{{r}^{2}}}\Rightarrow {{r}^{2}}=27-{{t}^{2}}$, điều kiện: $0<t<3\sqrt{3}$
Khi đó $V=\dfrac{1}{3}\pi \left( 27-{{t}^{2}} \right)t,\left( 0<t<3\sqrt{3} \right)$
Ta có ${V}'=\dfrac{1}{3}\pi \left( 27-3{{t}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3\left( n \right) \\
& t=-3\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Thể tích khối nón lớn nhất khi $t=3\Rightarrow {{r}^{2}}=18\Rightarrow h=3$.
Mặt khác $h=d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| a-2b-3+d \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}=3$ mà
$\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& d=-4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| -2b-5 \right|=3\sqrt{5+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}-4b+4=0\Leftrightarrow b=2$
Vậy $P=a-b-d=2-2+4=4$.
Note 40: Phương pháp chung
Đối với những bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích thông thường ta xử lý như sau
Bước 1: Xác định đối tượng thay đổi của bài toán, viết biểu thức tính thể tích theo biến thay đổi.
Bước 2: Khảo sát và tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Đáp án D.