Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4

và điểm

M (2; 3; 1)

. Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới (S), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn (C).
A.

r = \frac{2 \sqrt{3}}{3} .

B.

r = \frac{\sqrt{3}}{3} .

C.

r = \frac{2 \sqrt{2}}{3} .

D.

r = \frac{\sqrt{2}}{3} .

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (1; 1; 0)

và bán kính

R = 2

.

Ta có

\vec{I M} = (1; 2; 1) \Rightarrow I M = \sqrt{6}

Gọi H là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ M đến mặt cầu.
Kẻ

H O ⊥ I M (O \in I M)

, ta có

I O . I M = H I^{2} \Rightarrow I O . \sqrt{6} = 4 \Rightarrow I O = \frac{2 \sqrt{6}}{4}

.
Mà I, M cố định

\Rightarrow

O cố định.
Ta có

M H = \sqrt{I M^{2} - R^{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{H O^{2}} = \frac{1}{M H^{2}} + \frac{1}{M I^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \Rightarrow O H = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

.
Vậy

(C)

là đường tròn tâm O có bán kính

r = O H = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

.

Đáp án A.