Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và điểm $M\left( 2;3;1 \right)$. Từ M kẻ được vô số các tiếp tuyến tới (S), biết tập hợp các tiếp điểm là đường tròn (C). Tính bán kính r của đường tròn (C).
A. $r=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
B. $r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
C. $r=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
D. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
A. $r=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$
B. $r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
C. $r=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.$
D. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;1;0 \right)$ và bán kính $R=2$.
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 1;2;1 \right)\Rightarrow IM=\sqrt{6}$
Gọi H là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ M đến mặt cầu.
Kẻ $HO\bot IM\ \left( O\in IM \right)$, ta có $IO.IM=H{{I}^{2}}\Rightarrow IO.\sqrt{6}=4\Rightarrow IO=\dfrac{2\sqrt{6}}{4}$.
Mà I, M cố định $\Rightarrow $ O cố định.
Ta có $MH=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{1}{H{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\Rightarrow OH=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $\left( C \right)$ là đường tròn tâm O có bán kính $r=OH=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $\overrightarrow{IM}=\left( 1;2;1 \right)\Rightarrow IM=\sqrt{6}$
Gọi H là một tiếp điểm tùy ý khi kẻ tiếp tuyến từ M đến mặt cầu.
Kẻ $HO\bot IM\ \left( O\in IM \right)$, ta có $IO.IM=H{{I}^{2}}\Rightarrow IO.\sqrt{6}=4\Rightarrow IO=\dfrac{2\sqrt{6}}{4}$.
Mà I, M cố định $\Rightarrow $ O cố định.
Ta có $MH=\sqrt{I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{1}{H{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{M{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\Rightarrow OH=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $\left( C \right)$ là đường tròn tâm O có bán kính $r=OH=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án A.