Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;0;2 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 0;1;1 \right)$. Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A. $\dfrac{8}{3}$
B. 4
C. $\dfrac{4}{3}$
D. 8
Đặt $AD=a; AB=b; AC=c$. Ta có:
$R=IA=\sqrt{3}$ và $AM=\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}; IM=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow {{R}^{2}}=I{{A}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}=3$
Áp dụng BĐT cô -si
$\begin{aligned}
& {{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{b}^{2}}{{a}^{2}}{{c}^{2}}}\Rightarrow {{b}^{2}}{{a}^{2}}{{c}^{2}}\le \dfrac{{{\left( {{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{3}}}{27}\Leftrightarrow abc\le 8 \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{6}abc\le \dfrac{1}{6}.8=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{8}{3}$
B. 4
C. $\dfrac{4}{3}$
D. 8
Đặt $AD=a; AB=b; AC=c$. Ta có:
$R=IA=\sqrt{3}$ và $AM=\dfrac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}; IM=\dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow {{R}^{2}}=I{{A}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}=3$
Áp dụng BĐT cô -si
$\begin{aligned}
& {{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{b}^{2}}{{a}^{2}}{{c}^{2}}}\Rightarrow {{b}^{2}}{{a}^{2}}{{c}^{2}}\le \dfrac{{{\left( {{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{3}}}{27}\Leftrightarrow abc\le 8 \\
& \Rightarrow V=\dfrac{1}{6}abc\le \dfrac{1}{6}.8=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned}$
Đáp án C.