Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình . Từ điểm A thay đổi trên đường thẳng , kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu với B, C, D là các tiếp điểm. Biết rằng với mỗi tham số thực p tương ứng, mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng khi điểm A di động trên đường thẳng . Góc lớn nhất giữa mặt phẳng và đường thẳng có cosin là
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
Cách 1: Giải tổng quát full tự luận:
Xét điểm ta có: do đó:
(*)
Ta có: .
Khi đó ta có phương trình nghiệm đúng với mọi .
Điều đó xảy ra khi: và đó chính là đường thẳng cố định cần tìm.
Khi đó .
Cách 2: Tư duy ngắn gọn:
Đường thẳng cố định là đường thẳng đi qua H và vuông góc với đường thẳng trong trường hợp OA vuông góc với . Gọi .
Ta có
.
Khi đó và .
Vậy .
Xét điểm
Ta có:
Khi đó ta có phương trình
Điều đó xảy ra khi:
Khi đó
Cách 2: Tư duy ngắn gọn:
Đường thẳng cố định là đường thẳng đi qua H và vuông góc với đường thẳng
Ta có
Khi đó
Vậy
Đáp án D.